Números tan grandes que el universo no alcanza para escribirlos

Un millón es grande. Un millón de millones ya marea. Y aun así ambos caben, sin problema, en una calculadora. Hay números en matemáticas frente a los cuales escribir el universo observable completo, dígito a dígito, no alcanza. No es una forma de hablar: es un problema físico de espacio.

El nombre lo puso un niño

1938: el matemático Edward Kasner le pidió a su sobrino de nueve años, Milton Sirotta, que inventara un nombre para un 1 seguido de cien ceros. El niño respondió: googol. Kasner lo usó en su libro y el nombre se quedó (y sí: el buscador Google viene de ahí, con una letra cambiada). Un googol es 10^100. Para dimensionarlo: se estima que el universo observable tiene del orden de 10^80 átomos. Es decir, un googol le gana por mucho al conteo de todas las partículas que podemos ver. Si repartieras un átomo por unidad, te faltarían materiales.

Y entonces alguien propuso: un 1 seguido de un googol de ceros. Eso es un googolplex. Aquí la física ya no colabora: no hay suficiente materia en el universo observable para escribirlo en notación decimal, ni aunque cada dígito fuera un átomo y cada átomo una hoja de papel. Y un googolplex no es un caso extremo: es apenas el patio de juegos.

El número que no cabe

En los años setenta, el matemático Ronald Graham necesitó un número enorme para un problema de combinatoria (sobre colorear aristas de hipercubos: versiones de un cuadrado en muchísimas dimensiones). El número con el que acotó ese problema, hoy llamado número de Graham, es tan desproporcionado que no se puede escribir como una torre de exponentes; hace falta la notación de flechas de Knuth, que es literalmente un lenguaje para decir "esto se repite esto cuantas veces diga esta otra cosa". Dato que da vértigo: aunque intentaras anotar todos sus dígitos, no caben. Y no caben ni los dígitos de la cantidad de dígitos. El universo es demasiado chiquito para ese número. Y ni así es el más grande: hay procedimientos (funciones de crecimiento rápido, o juegos como TREE, cuyo tree(3) lo deja diminuto) que lo superan por una distancia que hace perder el sentido de la palabra "lejos".

Pero lo mejor está más cerca: un mazo de 52 cartas. El número de barajados distintos posibles es 52!, aproximadamente 8 x 10^67. Sigue siendo más chico que un googol, pero es muchísimo más grande que cualquier cosa humana: supera con muchísimo margen al número de segundos transcurridos desde el Big Bang. Consecuencia divertidísima: cada vez que barajas bien, lo más probable es que ese orden exacto de cartas nunca haya existido en la historia del universo. Un juego de mesa aburrido produce objetos matemáticos inéditos.

Para qué sirven estos números, si nadie los va a contar. Sirven para descubrir que el tamaño no es una propiedad del mundo, sino de las reglas: con operaciones simples (sumar, multiplicar, repetir) puedes fabricar cantidades que ningún universo alcanzará a contener. Aprender que existen es ver hasta dónde llega el pensamiento sin necesitar materiales. Nadie ha tocado un googol: y aun así sabes exactamente cuánto es.