El infinito: hay infinitos más grandes que otros, y Georg Cantor lo demostró

Puedes tener un infinito más grande que otro infinito

Los enteros —1, 2, 3, 4...— son infinitos. Los números entre 0 y 1 también, y muchísimos más. La intuición dice que "infinito es infinito" y se acaba la conversación; Georg Cantor respondió en 1891 con un argumento demoledor: no, hay más números reales que enteros, y no importa cómo los ordenes, siempre quedará un real sin emparejar. Su herramienta fue la diagonalización, y su premio fue una crisis: buena parte de la matemática de su época —Leopold Kronecker al frente— rechazó la idea, y David Hilbert la defendió con la frase "nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó". Piensa: ¿cómo puedes saber que algo es más grande que infinito sin contar?

Mientras ves el video, ten presente esta pregunta: ¿qué hace válida una demostración en matemáticas?

Lo importante

La idea que vuelve todo esto posible es la correspondencia uno a uno: si puedes asignar a cada elemento de un conjunto un elemento distinto del otro, y viceversa, tienen el mismo tamaño aunque ambos sean infinitos. Con eso, los enteros y los números pares "pesan" lo mismo —cada entero n se empareja con 2n—, resultado que a la intuición le cuesta aceptar pero que define con precisión qué queremos decir con "tantos". Cantor mostró que los racionales —las fracciones, densísimas en la recta— también son contables, y que en cambio los reales no: hay demasiado que cubrir. Su técnica, la diagonal, consiste en suponer que existe una lista completa de reales y construir uno que no está en la lista: toma el k-ésimo decimal del k-ésimo número y cámbialo.

Ese argumento es más que una curiosidad: fundó la teoría de conjuntos, el lenguaje en que hoy se escribe casi toda la matemática, y abrió preguntas que siguen vivas. Cantor demostró que hay una jerarquía infinita de cardinales —el conjunto de partes de un infinito siempre es más grande— y se pasó años intentando saber si existe algo entre los enteros y los reales, la llamada hipótesis del continuo. En 1963 se probó que esa pregunta no tiene respuesta dentro de los axiomas estándar: es indecidible, ni demostrable ni refutable. Y con la diagonalización salió también la prueba de Turing sobre la inexistencia de un algoritmo que decida todo programa, es decir, la frontera de lo computable. Una discusión sobre infinitos terminó definiendo los límites de la máquina.