Cuando una función vive dentro de otra
La idea en una frase
La derivada de una composición f(g(x)) es f'(g(x)) · g'(x): se deriva la capa EXTERIOR dejando la interior intacta, y se multiplica por la derivada de la capa INTERIOR. La tentación de olvidar ese factor g'(x) es EL error clásico de la regla de la cadena. Siempre pregúntate: "¿qué hay adentro, y cuál es su derivada?" y multiplícala.
| Expresión | Capa exterior | Capa interior g(x) | Derivada |
|---|---|---|---|
| (3x²+1)⁵ | (...)⁵ | 3x² + 1 | 5(3x²+1)⁴ · 6x |
| sen(2x) | sen(...) | 2x | cos(2x) · 2 |
| e^(x²) | e^(...) | x² | e^(x²) · 2x |
Cómo detectar que hace falta la cadena
Si ves una función con algo "complicado" dentro de un argumento (un paréntesis elevado, una raíz de una expresión, un trigonométrico de un polinomio), casi seguro necesitas la cadena. La señal es: hay una operación afuera que recibe como entrada otra operación. Separa mentalmente qué haces primero con x (adentro) y qué haces después (afuera).
Cadenas dentro de cadenas
A veces hay tres capas: sen²(3x) es (sen(3x))², con capas potencia, seno y 3x. Se deriva de afuera hacia adentro multiplicando todas las derivadas parciales: 2·sen(3x) · cos(3x) · 3. Mientras más capas, más factores, pero la mecánica es idéntica: baja cada capa derivando y multiplica todas.
Al derivar (2x + 1)³, la regla de la cadena exige multiplicar por…
La regla de la cadena se aplica cuando hay una función dentro del argumento de otra.
Deriva y = (x² + 3)⁴ usando la cadena.
4(x²+3)³ por la derivada de adentro
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¿Cuál es la derivada de (3x + 1)²? (Escríbela como coeficiente por binomio: 6(3x+1))
Se deriva la capa dejando la interior, y se por la derivada de la interior; mientras más capas, más .
¿Multiplicas siempre por la derivada interior?
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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