De un número a una función
En la unidad anterior calculaste la pendiente de la tangente en UN punto (por ejemplo, 2 en x=1 de x²). Ahora daremos un paso gigante: repite ese cálculo para CUALQUIER x y obtendrás una fórmula. Esa fórmula es la derivada.
La definición
La derivada de f en un punto x es el límite del cociente de diferencias cuando h tiende a 0:
Si ese límite existe para cada x del dominio, obtenemos una nueva función f prime. Evaluar f prime en un número te da la pendiente de f justo ahí.
De la pendiente de un punto a la función derivada
- Una curva y sus puntos
- En cada punto hay una tangente con su pendiente
- Graficar esas pendientes contra x produce la derivada
Si f es una parábola, qué forma crees que tiene f prime?
El ejemplo que lo revela todo: f(x) = x²
Aplicamos la definición a f(x) = x² en un x cualquiera (no en uno fijo):
Derivar f(x) = x² con la definición
Cociente
(f(x+h) - f(x)) / h = ((x+h)² - x²) / h.Desarrolla
(x² + 2xh + h² - x²) / h = (2xh + h²) / h.Factoriza h
h(2x + h) / h = 2x + h.Límite h→0
2x + h tiende a 2x. Por tanto f prime(x) = 2x.Interpreta
La pendiente de x² en cualquier x es 2x: en x=1 vale 2, en x=3 vale 6.
Paso 1 de 5
f(x) = x^2 · f(x) = 2*x
Interpretar signos
- f prime(x) mayor que 0: f CRECE en ese punto (tangente sube).
- f prime(x) menor que 0: f DECRECE (tangente baja).
- f prime(x) igual a 0: f está "plana" (posible máximo, mínimo o meseta).
Practica ahora
La derivada f prime(x) mide…
Si f prime(x) es negativa en un punto, entonces f ahí…
Usando f prime(x)=2x, ¿cuál es la pendiente de f(x)=x² en x=4?
La derivada de una función constante (por ejemplo f(x)=5) es 0.
Une cada situación con el signo de su derivada
Un alumno deriva f(x)=x² escribiendo el cociente mal. ¿En qué línea está el error?
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Piensa en la posición de un auto y su velocidad. ¿Por qué la velocidad es la derivada de la posición?
La velocidad mide qué tan rápido cambia la posición en cada instante.
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Autoevalúate
La derivada como función
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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