Aplicaciones de derivadas I

✦ Estudio de las aplicaciones de la derivada en optimizacion: puntos criticos (maximos y minimos locales), el criterio de la primera y segunda derivada, y problemas de optimizacion en tercero de preparatoria

Roadwise Consulting

Firmado y verificado · Fernando Castro

Objetivo: Comprender las aplicaciones de la derivada: maximos, minimos y puntos criticos.

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Lo que aprendesComprender las aplicaciones de la derivada: maximos, minimos y puntos criticos.

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Temas #maximos #minimos #puntos criticos #optimizacion #derivada #crecimiento #decrecimiento #concavidad

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Maximos y minimos: optimizacion con derivadas

La derivada permite encontrar maximos y minimos de una funcion. Un punto critico es donde f'(x) = 0 o f'(x) no existe. En un maximo local, la funcion cambia de creciente a decreciente (f' pasa de + a -). En un minimo local, cambia de decreciente a creciente (f' pasa de - a +). El criterio de la primera derivada analiza el signo de f' alrededor del punto critico.

El criterio de la segunda derivada es mas rapido: si f'(c) = 0 y f''(c) > 0, hay minimo en c (concavidad hacia arriba). Si f'(c) = 0 y f''(c) < 0, hay maximo en c (concavidad hacia abajo). Si f''(c) = 0, el criterio no decide (puede ser punto de inflexion). Las aplicaciones de optimizacion resuelven problemas reales: maximizar areas, minimizar costos, optimizar volumenes. El metodo: plantear la funcion objetivo, derivar, igualar a cero, verificar con el criterio de la segunda derivada.

Concepto	Definicion	Criterio
Punto critico	Donde f'(x) = 0 o no existe	Analizar signo de f' alrededor
Maximo local	f cambia de creciente a decreciente	f'(c)=0 y f''(c)<0
Minimo local	f cambia de decreciente a creciente	f'(c)=0 y f''(c)>0
Punto de inflexion	Cambio de concavidad	f''(c)=0 y f'' cambia de signo

Si f'(c) = 0 y f''(c) > 0, entonces en x = c hay:

Relaciona cada concepto con su definicion:

Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.

Un critico es donde f'(x) = o no existe. En un local, f cambia de creciente a decreciente (f''<0). En un local, f cambia de decreciente a creciente (f''>0). El criterio de la derivada: si f'(c)=0 y f''(c)>0, hay minimo. Si f'(c)=0 y f''(c)<0, hay .

Piensa en problemas de optimizacion de tu vida: quieres maximizar tu rendimiento escolar minimizando el estres. Puedes maximizar el area de un terreno con perimeter fijo. Puedes minimizar el costo de produccion maximizando la calidad. La derivada te dice donde estan los extremos: el punto optimo. Eso es optimizacion: encontrar lo mejor dentro de restricciones.

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Practica un pocoEncuentra maximos y minimos

Encuentra los puntos criticos de f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Deriva: f'(x) = 3x^2 - 6x. Igual a cero: 3x(x-2) = 0, entonces x=0 y x=2. Usa el criterio de la segunda derivada: f''(x) = 6x-6. f''(0) = -6 < 0 (maximo). f''(2) = 6 > 0 (minimo). Escribe los pasos detallados.

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