Cuando el cambio de una cosa fuerza el cambio de otra
Derivar con respecto al tiempo
Si y depende de x y x depende del tiempo, entonces y cambia en el tiempo también. Al relacionar magnitudes (por ejemplo x² + y² = L² de un escalera apoyada), derivas AMBOS lados con respecto al tiempo usando la cadena: 2x·(dx/dt) + 2y·(dy/dt) = 0. Cada término gana su propia "razón de cambio" dx/dt o dy/dt.
| Magnitud que se mueve | Se relaciona con | Qué se despeja |
|---|---|---|
| radio de un globo | volumen de la esfera | dV/dt en función de dr/dt |
| extremo de una escalera | altura en la pared | dy/dt dado dx/dt |
| sombra | altura y posición | rapidez de la punta de la sombra |
El método de las relacionadas
- Escribe la ecuación que UNE las dos variables (geometría, física).
- Deriva ambos lados con respecto al tiempo (regla de la cadena en cada término).
- Sustituye los valores del INSTANTE concreto que te dan.
- Despeja la razón de cambio que buscan.
Por qué el signo importa tanto
El signo de la razón de cambio dice si la cantidad CRECE o DECRECE. En la escalera, dy/dt negativo significa que la altura baja mientras la base se aleja: las dos cantidades negocian entre sí. Ignorar el signo es perder la dirección del proceso, y una respuesta "la altura crece a 0.75 m/s" sería exactamente lo contrario de lo que ocurre.
Al derivar x² + y² = 25 con respecto al tiempo (y función de x, x del tiempo), sale…
Si una magnitud crece y otra está atada a ella decreasing, sus signos relativos se oponen.
Un círculo crece con r a 2 cm/s. dA/dt = 2πr·(dr/dt). ¿Cuánto vale dA/dt cuando r = 5?
Sustituye r = 5 y dr/dt = 2
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Derivamos ambos lados con respecto al usando la cadena; cada término gana su razón de ; el signo indica si o decrece.
¿Encadenas el tiempo en una igualdad?
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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