Del álgebra a la vida real
La receta es siempre la misma: (1) dibuja y define la variable; (2) escribe la cantidad a optimizar (objetivo) en términos de UNA sola variable; (3) deriva e iguala a 0; (4) verifica que sea máximo o mínimo; (5) responde con unidades.
El problema clásico del corral
Tienes 40 m de malla para cercar un corral rectangular. ¿Qué dimensiones dan la MAYOR área? Si los lados son x y (20 − x) (porque el perímetro 2x + 2y = 40 → x + y = 20):
Resolver el corral
Objetivo
A(x) = 20x − x². Dominio: x entre 0 y 20.Deriva
A′(x) = 20 − 2x.Iguala
20 − 2x = 0 → x = 10.Verifica
A″(x) = −2 (negativa) → cóncava abajo → MÁXIMO.Responde
x = 10, y = 20−10 = 10. Corral CUADRADO de área 100 m².
Paso 1 de 5
f(x) = 20*x - x^2
Otro caso: la caja sin tapa
A una lámina cuadrada de 12 cm le cortas cuadrados de lado x en las esquinas y doblas: sale una caja de base (12−2x) y altura x. Su volumen es V(x) = x(12−2x)². Maximizar V con la derivada da x = 2 cm (caja de 128 cm³).
Practica ahora
El primer paso de un problema de optimización es…
En el corral de 40 m de perímetro, ¿qué lado x maximiza el área?
La segunda derivada negativa en un punto crítico indica un máximo.
Para perímetro fijo, la máxima área de un rectángulo se logra con…
Un alumno optimiza A=x(20−x) y escribe A′=20−2x=0 → x=20. ¿Dónde falló?
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Si fabricar q piezas cuesta C(q)=q²−20q+100, ¿la derivada te dice el costo mínimo? ¿en qué q ocurre?
C′=2q−20=0 → q=10 (costo mínimo).
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
Autoevalúate
Optimización
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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