Cuándo una función se puede "trazar de un jalón"
Una función es continua en un punto si puedes dibujar su gráfica "sin levantar el lápiz". Suena vago, pero se traduce a una prueba de tres preguntas. Si alguna falla, la curva se corta ahí.
La prueba de las tres preguntas
- ¿Existe f(a)? (el valor en el punto).
- ¿Existe el límite de f cuando x a a? (izquierda y derecha coinciden).
- ¿Coincide el límite con el valor f(a)? (sin hueco, sin salto).
Solo cuando las tres son verdaderas, la función es continua en a. Si una falla, la función está "rota" ahí: se llama discontinuidad.
Los tres tipos de rotura que vas a ver
Continuidad, hueco, salto y ruptura infinita
- Continua: la curva pasa sin huecos
- Evitable: hay un hueco que se puede rellenar
- Salto: el lado derecho arranca en otra altura
- Infinita: la curva se dispara cerca del punto
- Evitable: el límite existe pero no coincide con f(a) (o f(a) no está definido). Se "repara" asignando el valor correcto.
- De salto: los límites laterales existen pero son distintos (funciones a trozos).
- Esencial o infinita: la función se va a más o menos infinito cerca del punto (1/x en x = 0).
Ejemplos concretos
f(x) = 1/x
f(x) = x+1
Una función a trozos (salto)
Definimos g(x) = x + 1 cuando x es menor que 1, y g(x) = x² + 3 cuando x es mayor o igual que 1.
Aquí el límite por la izquierda en 1 es 2 (porque 1+1=2); por la derecha es 4 (porque 1²+3=4). No coinciden: salto. g NO es continua en 1.
Ejemplo resuelto
Decidir si f(x)=(x²-4)/(x-2) es continua en x=2
f(2)
No existe: (4-4)/(2-2) = 0/0.Límite en x a 2
Factoriza: (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2; da 4.¿Coincidir?
El límite sí existe (4), pero no f(2). No es continua.Reparable
Si defines f(2)=4, se vuelve continua: discontinuidad evitable.
Paso 1 de 4
Practica ahora
Para que f sea continua en a hace falta…
La función 1/x en x = 0 tiene una discontinuidad de tipo…
Si el límite de f en a existe y f(a) existe, f es continua en a.
La función f(x)=x/x en x=0 ¿tiene discontinuidad? ¿De qué tipo? ¿Cómo la repararías?
Simplifica y mira el valor natural del límite.
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
Para que g(x)=(x²-9)/(x-3) sea continua en 3, ¿qué valor debe tener g(3)?
Autoevalúate
Continuidad
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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