Analisis real II: continuidad y teoremas
El analisis real estudia rigurosamente la continuidad, los limites y los teoremas fundamentales del calculo. Estos conceptos son la base de toda la matematica avanzada y sus aplicaciones en fisica e ingenieria.
Continuidad
Una funcion es continua en un punto si el limite cuando x tiende a ese punto es igual al valor de la funcion. Intuitivamente, la grafica no tiene saltos ni huecos.
| Teorema | Enunciado | Importancia |
|---|---|---|
| Valor intermedio | Si f es continua en [a,b], toma todos los valores entre f(a) y f(b) | Garantiza existencia de raices |
| Valor extremo | Si f es continua en [a,b], alcanza maximo y minimo | Optimizacion |
| Bolzano | Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, hay una raiz | Metodos numericos |
Limites
El limite de f(x) cuando x tiende a a es L si f(x) se acerca arbitrariamente a L cuando x se acerca a a. Se escribe lim(x->a) f(x) = L.Continuidad uniforme
Una funcion es uniformemente continua si para todo epsilon existe delta que funciona para todos los puntos del dominio, no solo para uno.Diferenciabilidad
Si una funcion es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Pero no toda funcion continua es derivable (ejemplo: |x| en x=0).
Paso 1 de 3
Los teoremas de continuidad fueron rigurizados por Cauchy y Weierstrass en el siglo XIX, resolviendo paradojas que habian confundido a los matematicos durante siglos.
Piensa y responde
¿Que garantiza el teorema del valor intermedio?
Toda funcion continua es derivable.
El teorema de dice que si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, hay una raiz, y el teorema del valor garantiza valores intermedios.
Relaciona cada teorema con su conclusion:
Clasifica estas funciones segon su continuidad:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para aplicar el teorema de Bolzano:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que el teorema de Bolzano es la base de metodos numericos como la biseccion?
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
Para dominar este tema
- Define continuidad rigurosamente
- Aplica teoremas fundamentales
- Distingue continuidad de diferenciabilidad
- Usa Bolzano para demostrar existencia de raices
Analisis real II
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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