Medir qué tan rápido cambia algo
Subes a un automóvil y recorres 240 kilómetros en 3 horas. Tu velocidad promedio fue de 80 km/h. Eso no significa que fueras a 80 todo el tiempo: quizás ibas a 110 en carretera y a 20 en la ciudad. El promedio "aplana" los altibajos y te da UN solo número que resume el cambio total.
La fórmula del promedio
La razón de cambio promedio de f entre a y b es cuánto cambió f (la salida) dividido cuánto cambió x (la entrada):
En notación más usual, con delta (cambio): razón promedio = delta y sobre delta x = f(b) - f(a) todo sobre b - a. Es idéntica a la fórmula de pendiente m = (y2 - y1)/(x2 - x1) que ya conoces.
Pendiente = secante
Si dibujas los dos puntos de la curva y los unes con una recta, obtienes una SECANTE. Su pendiente ES la razón de cambio promedio. La secante "corta" la curva en dos puntos; mide el cambio entre ellos sin importar qué pasó en medio.
La secante une dos puntos de la curva
- Tenemos una curva y dos puntos sobre ella
- La secante es la recta que los une; su pendiente es el promedio
f(x) = x^2 · f(x) = 4*x - 3
Ejemplo resuelto paso a paso
Razón de cambio promedio de f(x) = x² en [1, 3]
Calcular f(1)
1² = 1.Calcular f(3)
3² = 9.Aplicar la fórmula
(9 - 1) / (3 - 1) = 8 / 2 = 4.Interpretar
En promedio, f creció 4 unidades por cada unidad de x entre 1 y 3.
Paso 1 de 4
El promedio depende del intervalo
Si escoges un intervalo distinto, obtienes otra razón promedio. Esto es clave: la velocidad promedio entre el kilómetro 0 y el 100 no es la misma que entre el 100 y el 240. La curva cambia "a distinta velocidad" en cada tramo.
¿Ves cómo la pendiente de la secante va creciendo? Cada tramo de la parábola es más inclinado que el anterior. La pregunta del cálculo será: ¿cuál es la inclinación EXACTA en un solo punto, no en un tramo?
Practica ahora
La razón de cambio promedio entre a y b geometricamente es…
Razón de cambio promedio de f(x)=3x+2 en [1, 4].
Para f(x)=x², calcula la razón promedio en [2, 5].
Para una función lineal, la razón de cambio promedio depende del intervalo que elijas.
Un estudiante calcula la razón promedio de f(x)=x² en [1,3]. ¿En qué paso está el error?
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Si recorres 60 km en 1 hora y luego 30 km en 2 horas, ¿cuál es tu velocidad promedio total? ¿Por qué no basta promediar 60 y 15?
La velocidad promedio usa distancia TOTAL sobre tiempo TOTAL.
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Razón de cambio promedio
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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