Cálculo diferencial II

✦ Estudio de la derivada como tasa de cambio instantanea, la interpretacion geometrica (pendiente de la recta tangente), las reglas de derivacion (suma, producto, cociente, cadena) y las derivadas de funciones basicas en tercero de preparatoria

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Firmado y verificado · Fernando Castro

Objetivo: Comprender el concepto de derivada y las reglas de derivacion.

7 min

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Sobre este contenido

Firmado y verificado Fernando Castro

Lo que aprendesComprender el concepto de derivada y las reglas de derivacion.

Datos7 min · Español

Temas #derivada #tasa de cambio #pendiente #recta tangente #reglas #cadena #funcion #diferencial

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Derivada: la tasa de cambio instantanea

La derivada es el concepto central del calculo diferencial. Mide la tasa de cambio instantanea de una funcion: cuanto cambia f(x) cuando x cambia una cantidad infinitesimal. Geometricamente: la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la grafica en ese punto. Si f(x) = x^2, entonces f'(x) = 2x: la pendiente en x=3 es 2(3) = 6.

Las reglas de derivacion permiten calcular derivadas sin usar la definicion de limite cada vez: derivada de constante es 0, derivada de x^n es nx^(n-1), derivada de suma es suma de derivadas, regla del producto (fg)' = f'g + fg', regla del cociente (f/g)' = (f'g - fg')/g^2, regla de la cadena (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x). Las derivadas de funciones basicas: sen(x)' = cos(x), cos(x)' = -sen(x), e^x' = e^x, ln(x)' = 1/x. La derivada es la herramienta mas poderosa de las matematicas modernas: modela velocidad, aceleracion, crecimiento, optimizacion.

Regla	Formula	Ejemplo
Constante	f(x) = c -> f'(x) = 0	f(x) = 5 -> f'(x) = 0
Potencia	f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1)	f(x) = x^3 -> f'(x) = 3x^2
Producto	(fg)' = f'g + fg'	(x^2 sen(x))' = 2xsen(x) + x^2*cos(x)
Cadena	(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)	(sen(3x))' = cos(3x) * 3 = 3cos(3x)

La derivada de f(x) = x^4 es:

Relaciona cada regla de derivacion con su formula:

Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.

La es la tasa de cambio de una funcion. Geometricamente: es la de la recta tangente a la grafica. La regla de la dice: f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1). La regla del dice: (fg)' = f'g + fg'. La regla de la dice: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).

Piensa en la derivada aplicada a tu vida: la velocidad es la derivada de la posicion, la aceleracion es la derivada de la velocidad. Cuando conduces un auto, el velocimetro muestra la derivada de tu posicion. Cuando creces, tu tasa de crecimiento es la derivada de tu altura. La derivada esta en todas partes: es el lenguaje del cambio.

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Practica un pocoCalcula derivadas basicas

Calcula las siguientes derivadas usando reglas: f(x) = x^3 (potencia), f(x) = x^2 * sen(x) (producto), f(x) = sen(3x) (cadena), f(x) = (x^2+1)/(x-1) (cociente). Para cada una, identifica la regla y aplicala paso a paso. Escribe los pasos detallados.

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Repasa esto primeroComprende la regla de la cadena

La regla de la cadena es la mas importante: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x). Practica con 5 ejemplos: sen(2x), cos(x^2), e^(3x), ln(x^2+1), (x^2+1)^5. Para cada uno, identifica f y g, calcula f' y g', y aplica la cadena. Escribe un reporte de 400 palabras.

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