El problema que la pendiente normal no puede resolver
Sabes medir la pendiente entre DOS puntos (la secante). Pero, ¿cuál es la inclinación de la curva en UN solo punto? No puedes usar la fórmula de pendiente porque necesita dos puntos. Aquí está el nacimiento del cálculo: la idea es acercar el segundo punto hasta que casi, casi toque al primero.
Mira la secante convertirse en tangente
Imagina el punto Q deslizándose sobre la curva hacia P. Mientras Q se acerca, la secante PQ gira. Su inclinación cambia. Cuando Q llega "al límite" (se confunde con P), la secante se transforma en la recta TANGENTE: la que solo roza la curva en P y revela su dirección exacta ahí.
Q viaja hacia P y la secante se vuelve tangente
- P fijo; Q lejos. La secante está muy inclinada
- Q se acerca: la secante gira y se aplana
- Q casi toca P: la secante casi no se distingue
- Límite: Q coincide con P y queda la TANGENTE
¿Qué le pasó a la pendiente cuando Q se volvió P?
Los números cuentan la misma historia
Tomemos f(x) = x² en el punto P = (1, 1) y acerquemos Q en x = 1 + h. La pendiente de la secante es (f(1+h) - f(1))/h. Evaluemosla con h cada vez más pequeño:
| h (qué tan cerca está Q) | Pendiente de la secante |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 0.1 | 2.1 |
| 0.01 | 2.01 |
| 0.001 | 2.001 |
| 0.0001 | 2.0001 |
| se acerca a 0… | se acerca a 2 |
No importa cuán cerca quieras estar de 2: escoges h suficientemente pequeño y la secante te lo da. Por eso decimos que la pendiente de la TANGENTE en x = 1 es exactamente 2.
Escrito con la notación del límite (ahora sí)
Solo ahora, cuando ya SENTISTE el acercamiento, aparece la notación. Lo que hicimos fue calcular el límite del cociente de secantes cuando h tiende a 0:
La barrida "h → 0" (h tiende a 0) es el dibujo de Q viajando hacia P. No significa que h valga 0 (eso daría 0 entre 0, sin sentido): significa que h se acerca a 0 sin parar y observamos a qué tiende el resultado.
f(x) = x^2 · f(x) = 2*x - 1 · f(x) = 3*x - 2
Trabajo algebraico: del cociente al 2
Pendiente de la tangente de f(x)=x² en x=1
Cociente de secantes
(f(1+h) - f(1)) / h = ((1+h)² - 1) / h.Desarrolla
(1 + 2h + h² - 1) / h = (2h + h²) / h.Factoriza h
h(2 + h) / h = 2 + h (para h distinto de 0).Deja que h→0
2 + h tiende a 2. Esa es la pendiente de la tangente.
Paso 1 de 4
Velocidad instantánea: el mismo cálculo en ropa de calle
Si una piedra cae con posición s(t) = 5t² (metros, segundos), su VELOCIDAD en un instante exacto es la pendiente tangente de s. Entre 2 y 2+h segundos, la velocidad promedio es (s(2+h)-s(2))/h = 20 + 5h. Cuando h tiende a 0, la velocidad INSTANTÁNEA en t = 2 es 20 m/s... por eso el velocímetro de un auto marca un número EN UN INSTANTE, aunque nunca lo midas en cero tiempo.
Practica ahora
La recta tangente en P representa…
Cuando decimos "h tiende a 0" queremos decir que…
La pendiente de la tangente es la razón de cambio promedio entre dos puntos lejanos.
Con f(x)=x² en x=3, ¿cuál es la pendiente de la tangente?
Una estudiante dice que la tangente en x=1 de x² tiene pendiente 3 porque la secante lejana daba 3. ¿En qué paso se equivoca?
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Si acercamos Q en x=1+h con h cada vez NEGATIVO (por la izquierda), ¿hacia qué número tenderá la pendiente?
Un ciclista recorre d(t)=t² metros en t segundos. Explica con tus palabras qué significa su velocidad en el instante t=4 y por qué no puedes medirla con "distancia entre dos fotos idénticas".
Necesitas dos tiempos para promediar; el instante es el límite cuando los separas cada vez menos.
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Autoevalúate
De secante a tangente
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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