Cuando varias cosas cambian a la vez
Movimiento: posición, velocidad, aceleración
Si s(t) es la posición de una partícula, su velocidad es la derivada v(t)=s′(t) y su aceleración a(t)=v′(t)=s″(t). Derivar respecto al TIEMPO convierte posición en velocidad y velocidad en aceleración.
Una piedra cae: s(t) = 4.9t² (metros)
Posición
s(t) = 4.9t².Velocidad
v(t) = s′(t) = 9.8t (metros por segundo).Aceleración
a(t) = v′(t) = 9.8 (constante, gravedad).Evalúa
A los 3 s: v(3) = 29.4 m/s.
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Razones relacionadas: el truco de la cadena
Cuando dos cantidades ligadas cambian en el tiempo, derivas su relación respecto a t y aplicas la cadena. Ejemplo: se infla un globo esférico; si el radio crece a cierta rapidez, ¿a qué rapidez crece el volumen?
Globo esférico: V = (4/3)π r³
Relación
V = (4/3)π r³.Deriva en t
dV/dt = 4π r² · (dr/dt) (cadena: r depende de t).Datos
Si r = 2 cm y dr/dt = 3 cm/s…Sustituye
dV/dt = 4π(4)(3) = 48π cm³/s.
Paso 1 de 4
f(x) = 4.9*x^2 · f(x) = 9.8*x
Practica ahora
La velocidad de una partícula es…
Para s(t)=4.9t², la velocidad es v=9.8t. ¿Cuál es v en t=2 s?
Al derivar r³ respecto a t se obtiene 3r²·(dr/dt).
Une cada magnitud con su derivada temporal
Un alumno deriva V=(4/3)πr³ y escribe dV/dt=4πr². ¿Qué omitió?
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Un coche avanza y su distancia al semáforo disminuye. ¿La razón de cambio de esa distancia es positiva o negativa?
Negativa: la distancia disminuye con el tiempo.
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