Aquí se cobra la Unidad 4: la derivada ya no es un cálculo, es un argumento
La ruta de la evaluación, en cinco movimientos
Del dibujo a la decisión, sin saltarte nada
1. Dibujar y declarar variables con unidad
En optimización: figura, etiquetas, y la frase "x = lado en cm, x > 0". En razones relacionadas: la situación en dos instantes (antes y ahora), y una tabla que diga qué tasas conoces y qué tasa buscas, con sus unidades (cm por segundo, m³ por minuto). El dibujo no es adorno: es donde se ve qué magnitudes están ligadas.2. Escribir la restricción y reducirla a una variable
La información que cierra el problema es la restricción (área fija, volumen fijo, alambre de 24 m, altura constante del agua). Despeja una variable con ella y sustituye en la expresión que quieres optimizar, para que te quede UNA sola variable. Si tu función objetivo tiene dos letras, todavía no estás derivando: estás adivinando.3. Fijar dominio y candidatos
El dominio realista no es todo lo real: es lo que tiene sentido en el contexto (0 ≤ x ≤ 6 si el cartón mide 12 cm). Los candidatos a mejor valor son dos tipos: los puntos críticos del dominio abierto (f' = 0) y los extremos del intervalo. Evalúa f en todos y compara; en un intervalo cerrado, el óptimo puede estar en una orilla.4. Decidir con criterio, no con corazonada
Para clasificar un punto crítico usa el cambio de signo de f' (positivo a negativo = máximo; negativo a positivo = mínimo), o el criterio de la segunda derivada cuando el álgebra lo permite (f'' < 0 en el punto: la curva abre hacia abajo y hay máximo; f'' > 0: abre hacia arriba y hay mínimo). Escribe cuál usaste: el calificador necesita ver el criterio, no la conclusión sola.5. Cerrar con la interpretación y una verificación
Devuelve la respuesta en el idioma del problema: "el volumen máximo es 128 cm³ cuando se cortan cuadros de 2 cm". Verifica por segunda ruta: una tabla de valores alrededor del candidato, o la lógica de que la caja degenera (volumen cero) en los extremos del dominio.
Paso 1 de 5
Las tres lecturas que esta evaluación te exige tener rápidas
- SIGNO DE LA DERIVADA: donde f' pasa de positivo a negativo hay una cumbre; de negativo a positivo, un valle
- CANDIDATOS EN INTERVALO CERRADO: los puntos críticos de adentro y las dos orillas del dominio, los tres se evaluan
- RAZONES RELACIONADAS: dos magnitudes cambian a ritmos distintos pero unidos por una ecuación; se deriva en t
¿Tu dominio tiene orillas y las evaluaste?, ¿tu clasificación usa cambio de signo o segunda derivada?, ¿tu ecuación de razones relacionadas tiene las dos variables antes de derivar?
Practica ahora
Si f'(x) < 0 en todo el intervalo (-2, 2) y además f'(0) = 0, entonces en x = 0…
En un problema de optimización con dominio cerrado 0 ≤ x ≤ 6, después de encontrar el punto crítico se debe…
De una lámina cuadrada de 12 cm por lado se recortan cuadros de x cm en las esquinas y se doblan los bordes para armar una caja sin tapa. ¿Cuál es el volumen máximo de la caja, en cm³?
En un problema de razones relacionadas, si el radio de un círculo crece a 3 cm por segundo, el área crece a una tasa de 6πr cm² por segundo.
Resuelve tu problema de optimización y luego escríbelo de nuevo en media página sin ver el álgebra: solo dibujo, variables con unidad, restricción, dominio, candidatos y decisión. Intercámbialo con un compañero y pídele que encuentre el candidato que olvidaste.
Si tu compañero encuentra una orilla del dominio que no evaluaste, acabas de descubrir por qué el quinto movimiento de la ruta existe.
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