Razones relacionadas
En problemas de razones relacionadas varias magnitudes varían con el tiempo y están ligadas por una ecuación. Derivando esa ecuación respecto al tiempo, con la regla de la cadena, se obtiene una relación entre sus tasas de cambio.
El guion de siempre
- Identificar las variables que cambian y el instante concreto.
- Escribir la ecuación que las liga (geometría o física).
- Derivar respecto al tiempo y despejar la tasa buscada.
Derivar respecto al tiempo
Cada término se deriva usando la regla de la cadena, porque todas las magnitudes dependen del tiempo. Así, la derivada del área de un círculo involucra el radio y la velocidad a la que crece.
Un ejemplo clásico
Un tanque cilíndrico se llena a caudal constante. El volumen es área de la base por la altura; al derivar, la velocidad a la que sube el nivel resulta el caudal partido por el área de la sección. Si la sección cambiara, la tasa dependería del nivel actual.
El papel del instante
- Las tasas suelen depender de los valores en ese momento preciso.
- Por eso la respuesta no es un ritmo único sino uno para cada instante.
- Evaluar todo en el instante pedido es imprescindible.
Geometría que liga variables
- Pitágoras para escaleras que se deslizan.
- Fórmulas de volumen y área para recipientes.
- Semejanza de triángulos para sombras y alturas.
Signos y sentido del cambio
Una tasa negativa indica que la magnitud decrece. Interpretar el signo evita errores: si el radio crece y la altura cae, sus tasas llevan signos opuestos aunque estén ligadas.
Comprobar con unidades
- Cada término de la ecuación derivada debe tener unidades coherentes.
- Un desacople de unidades delata un error de diferenciación.
- El análisis dimensional es una red de seguridad barata.
En datos y sistemas
Razones relacionadas modelan cómo una métrica que vemos moverse arrastra a otra: el crecimiento de usuarios y su relación con el ancho de banda, o el nivel de stock frente al ritmo de pedidos.
Errores habituales
- Sustituir valores antes de derivar, perdiendo términos.
- Olvidar un factor de la regla de la cadena al derivar respecto al tiempo.
- Dar una tasa global cuando la pregunta pide la tasa en un instante.
Ejemplo resuelto: el nivel de un tanque que se llena
Un tanque cilíndrico se llena con un caudal constante y queremos la velocidad a la que sube el nivel en un instante.
- Escribir el volumen como área de la base por la altura del líquido.
- Derivar ambos lados respecto al tiempo con la regla de la cadena.
- Reconocer que la derivada del volumen es el caudal y la de la altura es la tasa buscada.
- Despejar la subida del nivel como caudal partido por el área de la base.
- Sustituir los valores del instante y revisar las unidades.
¿Para qué sirve en la realidad?
Las razones relacionadas permiten deducir una magnitud difícil de medir a partir de otra que sí observamos: el ritmo de llenado de un depósito, el crecimiento de una métrica que arrastra a otra, o la velocidad a la que cambia una sombra.
Al resolver un problema de razones relacionadas, se deriva la ecuación que liga las variables:
La tasa buscada en un problema de razones relacionadas suele depender de los valores presentes en el instante concreto.
Razones
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Razones relacionadasEcuaciones que vinculan las derivadas temporales de magnitudes.
Une cada paso del método con su propósito:
Tasas que cambian juntas
- Razones relacionadas
- Método
- variables ligadas en el tiempo
- variables ligadas en el tiempo
- derivar respecto a t
- Método
- evaluar en el instante
- regla de la cadena
- signos según crezca o decrezca
Derivación implícitaDerivar relaciones en las que la variable dependiente no está despejada.
Un globo esférico se infla a volumen creciente constante. Explica por qué la velocidad a la que sube el radio no es constante, usando la idea de derivar respecto al tiempo.
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