El límite responde: ¿a dónde VA la función?
Corres hacia una meta trazada en el piso. Puedes describir tu destino sin decir dónde estás: "voy a la meta". El límite de una función cuando x tiende a un número a es exactamente eso: a qué valor SE ACERCA f(x), sin importar si llega o no a tocarlo.
Un agujero en la gráfica
Considera f(x) = (x² - 1)/(x - 1). En x = 1 la función NO existe (daría 0/0). Pero para x distintos de 1, simplificamos: (x-1)(x+1)/(x-1) = x + 1. Así que alrededor de 1, la función se comporta como la recta x + 1 con un huequito justo en x = 1.
f(x) = x + 1
| x por la izquierda | f(x) | x por la derecha | f(x) |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 1.5 | 1.5 | 2.5 |
| 0.9 | 1.9 | 1.1 | 2.1 |
| 0.99 | 1.99 | 1.01 | 2.01 |
| 0.999 | 1.999 | 1.001 | 2.001 |
Ambas columnas se arriman a 2. Ese acuerdo entre los dos lados es la señal de que el límite existe.
Notación
Se lee "el límite de f(x), cuando x tiende a 1, es 2". El "tiende a" (flecha hacia 1) es el movimiento de acercarse; el igual 2 es el destino al que apunta.
Cómo calcular límites (sin miedo)
- Sustitución directa: si al poner x=a no sale 0/0 ni algo sin sentido, ese es el límite. Ejemplo: el límite de x²+1 cuando x a 3 es simplemente 9+1 = 10.
- Factorización: si sale 0/0, factoriza y cancela el término "problemático" (como antes con x-1).
- Tablas o gráfica: acerca valores por ambos lados y observa a qué convergen.
- Racionales grandes: si x tiende a infinito, divide todo entre la mayor potencia de x.
Ejemplos resueltos
Límite de (x² - 9)/(x - 3) cuando x tiende a 3
Intenta sustituir
(9-9)/(3-3) = 0/0. Hay que trabajar.Factoriza
x² - 9 = (x-3)(x+3).Cancela
Queda x + 3 para x distinto de 3.Sustituye
El límite es 3 + 3 = 6.
Paso 1 de 4
Límite de 3x² - x + 1 cuando x tiende a 2
Sustitución directa
Como es un polinomio, no hay 0/0.Evalúa
3(4) - 2 + 1 = 12 - 2 + 1.Resultado
11.
Paso 1 de 3
Practica ahora
El límite de f(x) cuando x tiende a a existe si…
Límite de x²+2 cuando x a 4
Límite de (x²-4)/(x-2) cuando x a 2
Si f(a) no existe, el límite de f cuando x a a tampoco puede existir.
Dos funciones tienen el mismo límite en a, pero diferente valor en a. ¿Importa la diferencia para el límite?
Recuerda: el límite usa puntos cercanos a a, no el punto mismo.
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