Contar el cambio: de lo discreto a lo continuo
Sucesión aritmética: siempre el mismo paso
- Cada término se obtiene SUMANDO una constante d: aₙ = a₁ + (n−1)d. Ej.: 3, 7, 11, 15… con a₁ = 3 y d = 4.
- Suma de los n primeros: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 (n veces el promedio de los extremos).
- Crecimiento LINEAL: su gráfica son puntos sobre una recta; la pendiente es d.
Ejemplo resuelto: el término 20 y su suma
En 3, 7, 11, 15…:
- a₂₀ = 3 + (20 − 1)·4 = 3 + 76 = 79.
- S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 20·41 = 820.
Sucesión geométrica: siempre el mismo factor
- Cada término se obtiene MULTIPLICANDO por una constante r: aₙ = a₁·r^(n−1). Ej.: 2, 6, 18, 54… con a₁ = 2 y r = 3.
- Suma finita: Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1), para r ≠ 1.
- Suma INFINITA convergente: solo si r está entre −1 y 1, S∞ = a₁/(1 − r). El crecimiento EXPONENCIAL dispara; el decaimiento exponencial (r entre 0 y 1) se acumula a un valor finito.
Ejemplo resuelto: la suma que nunca llega a 2
Considera 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … (a₁ = 1, r = 1/2):
- Como |r| es menor que 1, converge a S∞ = 1/(1 − 1/2) = 1/(1/2) = 2.
- Ninguna suma parcial LLEGA a 2, pero se acerca tanto como quieras: esa es la idea de LÍMITE.
Razón de cambio: promedio vs instante
- CAMBIO PROMEDIO entre dos momentos = (f(b) − f(a))/(b − a): es justo la PENDIENTE de la recta SECANTE que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
- CAMBIO INSTANTÁNEO en un punto: acerca b hacia a (acorta el intervalo). La secante "rueda" hasta volverse TANGENTE y su pendiente se estabiliza: ESA es la derivada.
- Notación sin miedo: se lee "el límite del cambio promedio cuando el intervalo tiende a 0". No calculamos el 0 (sería dividir entre 0): observamos a qué VALOR se acerca.
Ejemplo resuelto: de secante a tangente (la idea)
Toma f(x) = x² en el punto x = 1. Mide el cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños [1, 1+h]:
| h | Intervalo | Cambio promedio = ((1+h)² − 1)/h | Valor |
|---|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | (4 − 1)/1 | 3 |
| 0.5 | [1, 1.5] | (2.25 − 1)/0.5 | 2.5 |
| 0.1 | [1, 1.1] | (1.21 − 1)/0.1 | 2.1 |
| 0.01 | [1, 1.01] | (1.0201 − 1)/0.01 | 2.01 |
- Los valores 3, 2.5, 2.1, 2.01… se arriman a 2: la pendiente de la TANGENTE en x = 1 es 2. Eso (no una regla memorizada) es la derivada de x² en 1.
Básico
El siguiente término de 5, 9, 13, 17, … es:
Una sucesión geométrica con r = 2 tiene suma infinita finita.
En una sucesión aritmética el término general es aₙ = a₁ + ; en una geométrica es aₙ = a₁ · .
Intermedio
Une cada situación con su modelo de sucesión:
Una sucesión aritmética tiene a₁ = 4 y d = 6. ¿Cuál es el término a₁₀? Entero.
Avanzado
Un texto sobre cambio promedio y derivada. La afirmación con ERROR es:
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
A partir de la tabla de posiciones de un móvil s(t) = t² (metros, segundos), calcula la velocidad promedio en [1, 3], luego en [1, 2], [1, 1.5] y [1, 1.1]. Ordena los resultados y estima a qué valor se acerca: la velocidad INSTANTÁNEA en t = 1.
Se evalúa ver la sucesión de promedios (2, 3, 3.5, …) acercándose a 2 — y explicar con palabras el paso de "promedio" a "instante".
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
Aplicaciones reales
- Finanzas: el interés compuesto es geométrico; entender por qué "interés sobre interés" explota con el tiempo.
- Biología y epidemiología: reproducción y contagio crecen de forma geométrica al inicio; de ahí las curvas.
- Física: velocidad y aceleración son cambios instantáneos de posición y velocidad — la idea del límite por todas partes.
Errores frecuentes
- Usar n en lugar de (n−1) en los términos generales.
- Aplicar la suma infinita cuando |r| ≥ 1 (no converge).
- Creer que la derivada es "dividir entre cero": es un límite, un acercarse.
- Confundir crecimiento lineal (aritmético) con exponencial (geométrico).
Conexiones con otros aprendizajes
Con la U1 (exponencial y logaritmo) el crecimiento geométrico ES la exponencial discreta; con la U3 (recta) la pendiente es el cambio promedio; y con CNEYT IV, las medias móviles y tasas instantáneas (velocidad, dosis) aplican la misma idea de acercar intervalos.
Khan Academy · SucesionesPráctica de términos generales y sumas de sucesiones.
Tarjetas de cambio
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Modelar sucesiones y explicar el cambio instantáneo
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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