1. Cambiar es una pendiente
Tasa de cambio promedio de f(x) = x² entre x = 1 y x = 3
1. Evalua
f(1) = 1, f(3) = 9.2. Diferencias
cambio en y = 9 - 1 = 8; cambio en x = 3 - 1 = 2.3. Divide
TCP = 8 / 2 = 4.
Paso 1 de 3
Para f(x) = x², calcula la tasa de cambio promedio entre x = 1 y x = 2. (f(1)=1, f(2)=4)
2. Encoger el intervalo: del promedio al instante
La velocidad INSTANTANEA parece imposible de medir (en un instante no pasa tiempo). La idea genial: calcula el promedio en intervalos CADA VEZ MAS CORTOS y mira a que número se acercan. Ese número LIMITE es la derivada, la velocidad del instante.
Acercarse al instante
- Intervalo grande
Primero promedias en un tramo ancho.
- Intervalo corto
Encoges el tramo: el promedio se mueve.
- Casi instante
Al encoger a cero, el promedio tiende a 2: esa es la derivada en x = 1 para x². Al encoger el intervalo, el promedio se aleja o se estabiliza en un numero?
3. Que significa la derivada
- Es la velocidad instantanea de algo que cambia (una piedra que cae, una población).
- Es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.
- Responde: en ESTE instante, ¿que tan rápido esta creciendo o decreciendo?
- En PM V aprenderas reglas para calcularla sin encoger intervalos a mano.
Continuando el acercamiento de f(x) = x² en x = 1 (TCP = 3, 2.1, 2.01, 2.001...), ¿a que número tiende la tasa de cambio? Da el limite.
4. Autoevaluación
La tasa de cambio promedio entre dos puntos de una función es…
La derivada se obtiene encogiendo el intervalo hasta su limite.
Une cada concepto con su pregunta
Autoevaluación: idea de cambio
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
La altura de un cohete sigue h(t) = t² (metros). Calcula su velocidad promedio entre t = 2 y t = 4, y explica como hallarias la velocidad INSTANTANEA en t = 2 con la idea de esta unidad.
Promedio primero, luego encoge el intervalo.
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