Más allá del triángulo rectángulo
Cuándo usar cada ley
| Tienes... | Usa | Por qué |
|---|---|---|
| un lado y dos ángulos (AAS/ASA) | LEY DE SENOS | conoces un par lado-ángulo opuesto |
| dos lados y el ángulo comprendido (SAS) | LEY DE COSENOS | hay que hallar el tercer lado primero |
| los tres lados (SSS) | LEY DE COSENOS | para despejar un ángulo |
| dos lados y un ángulo opuesto (SSA) | LEY DE SENOS (cuidado) | puede dar 0, 1 o 2 triángulos (caso ambiguo) |
Ley de senos: el lado grande mira al ángulo grande
a/sen A = b/sen B = c/sen C. En un mismo triángulo, lado y ángulo opuesto crecen juntos: el lado mayor está frente al ángulo mayor. Solo puedes usarla si conoces un PAR completo (lado + su ángulo opuesto).
Ley de cosenos: Pitágoras sin el 90°
c² = a² + b² − 2ab·cos C. Si C = 90°, cos 90° = 0 y recuperas Pitágoras (c² = a² + b²): Pitágoras es un caso especial de la ley de cosenos. Para hallar un ángulo: cos C = (a² + b² − c²)/(2ab).
Área de cualquier triángulo
Área = ½·a·b·sen C (dos lados y el ángulo entre ellos). Cuando C = 90°, sen 90° = 1 y vuelves a ½·base·altura.
Ejemplo resuelto: medir un río sin cruzarlo
Desde un punto A de la orilla ves un poste B en la otra orilla. Caminas 50 m a lo largo de tu orilla hasta C y mides: ángulo en A = 63°, ángulo en C = 51°. ¿Ancho del río (AB)?
- El ángulo restante en B = 180° − 63° − 51° = 66°.
- El lado conocido AC = 50 está frente al ángulo B = 66° (par completo).
- Ley de senos: AB/sen C = AC/sen B, así que AB = 50·sen 51° / sen 66°.
- AB ≈ 50·0.777 / 0.914 ≈ 42.5 m: ese es el ancho del río.
Básico
La ley de cosenos se convierte en el teorema de Pitágoras cuando:
En un triángulo, el lado mayor está frente al ángulo mayor.
La fórmula c² = a² + b² − 2ab·cos es la ley de ; sirve cuando conoces dos lados y el ángulo .
Intermedio
Une cada set de datos con la ley adecuada:
En un triángulo, a = 8, ángulo A = 30° y ángulo B = 45°. Halla b con la ley de senos (sen 45° ≈ 0.707, sen 30° = 0.5). Da b redondeado a una cifra decimal.
Avanzado
Un alumno resuelve un SAS (a = 5, b = 7, C = 60°). La afirmación con ERROR es:
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Diseña un problema de medición indirecta (altura de un asta, ancho de una calle) con un triángulo oblicuo: datos, dibujo, ley elegida con justificación y solución.
Se evalúa elegir bien entre senos y cosenos según los datos y justificarlo.
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
Aplicaciones reales
- Topografía: distancias inaccesibles se miden por triangulación (ley de senos).
- Navegación y rumbos: posición entre dos puntos de referencia.
- Ingeniería y arquitectura: diagonales y ángulos de estructuras no rectas.
Errores frecuentes
- Aplicar la ley de senos sin un par lado-ángulo opuesto conocido.
- Confundir el ángulo comprendido (para cosenos) con uno opuesto.
- Olvidar sen C en el área y usar solo ½·a·b.
- No detectar el caso ambiguo SSA (dos soluciones posibles).
Conexiones con otros aprendizajes
Con la etapa de radianes unes el círculo trigonométrico; con la U3 (geometría analítica) la distancia entre dos puntos es un caso de la ley de cosenos; y con CNEYT, medir sin tocar es pensamiento científico puro: inferir por triangulación.
Khan Academy · Ley de senos y cosenosPráctica interactiva de resolución de triángulos oblicuos.
Tarjetas de medición
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Elegir y aplicar la ley correcta en medición
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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