Un símbolo para "súmalos todos"
Leer y escribir con sigma
- Σ (desde i = 1 hasta n) de a_i significa a₁ + a₂ + … + aₙ: el índice i recorre los valores y se sustituye en cada término.
- El ÍNDICE (i o k) es una "variable muda": solo sirve para contar; puedes renombrarla.
- La cota inferior y superior fijan cuántos términos hay y cuáles son.
Ejemplo resuelto: expandir una sumatoria
Evalúa Σ (de k = 1 a 4) de (2k + 1):
- Sustituye k = 1, 2, 3, 4: (2·1 + 1) + (2·2 + 1) + (2·3 + 1) + (2·4 + 1).
- Es 3 + 5 + 7 + 9 = 24.
Propiedades que simplifican
- Σ c = c·n: sumar una constante n veces la multiplica.
- Σ (a_i + b_i) = Σ a_i + Σ b_i: la suma se reparte (es lineal).
- Σ c·a_i = c·Σ a_i: las constantes salen fuera del signo.
Fórmulas cerradas estrella
| Suma | Fórmula | Memotecnia |
|---|---|---|
| Σ i (primeros n naturales) | n(n + 1)/2 | el chiste de Gauss |
| Σ i² | n(n + 1)(2n + 1)/6 | se recuerda una vez |
| Σ i³ | [n(n + 1)/2]² | es el cuadrado de la primera |
| Geométrica Σ r^k | (r^(n+1) − 1)/(r − 1) | factor menos uno |
Ejemplo resuelto: usar la fórmula de Gauss
¿Cuánto vale 1 + 2 + 3 + … + 100?
- n = 100 → n(n + 1)/2 = 100 · 101 / 2 = 5050.
- Sin fórmula serían 100 sumas; con ella, un cálculo. De ahí el genio niño de Gauss que el maestro quiso castigar.
Por qué importan en el cálculo
Sumar muchos términos pequeños es EXACTAMENTE lo que hace la integral (el área bajo una curva se aproxima con una sumatoria de rectángulos). Cuando n crece sin límite y los sumandos se hacen infinitesimales, la sumatoria se vuelve integral. Aprender Σ y sus fórmulas hoy es comprar el vocabulario del cálculo de mañana.
De dónde sale la fórmula de Gauss (no es magia)
La fórmula n(n + 1)/2 se entiende con un trazo brillante: escribe la suma 1 + 2 + … + n y, debajo, la MISMA suma al revés (n + … + 2 + 1). Al sumar columna por columna, cada par vale (n + 1): el primero 1 + n, el segundo 2 + (n − 1), etc. Hay n columnas que suman (n + 1) cada una, o sea n(n + 1). Pero eso contó la suma DOS VECES (una hacia adelante y otra hacia atrás), así que el valor real es la mitad: n(n + 1)/2. Este razonamiento —emparejar extremos— es el mismo que usaste para sumar una sucesión aritmética con el promedio de los extremos.
Sumar es acumular: para qué sirve en el mundo
- Anualidades y ahorros: depositar una cantidad fija cada mes es una sumatoria; su total crece como una suma aritmética, y con interés, como una serie geométrica.
- Distancia recorrida: si conoces la velocidad en cada instante, la posición total es la SUMA de velocidades por tiempos pequeños — literalmente una Σ que se hace integral.
- Ciencias de datos: un promedio es una suma dividida entre n; muchas métricas (varianza, totales acumulados) son sumatorias.
Básico
Σ (de i = 1 a 3) de i² vale:
Σ c (de i = 1 a n) = c·n.
La suma 1 + 2 + … + n se calcula con la fórmula .
Intermedio
Usando la fórmula de Gauss, ¿cuánto vale la suma de los primeros 20 números naturales? Entero.
Avanzado
Expresa y calcula Σ (de k = 1 a n) de (3k + 2) usando las propiedades y la fórmula de Gauss, y verifica con n = 5.
Se evalúa 3·Σk + Σ2 = 3·n(n + 1)/2 + 2n; para n = 5: 3·15 + 10 = 55, coincidiendo con 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55.
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Conexiones con otros aprendizajes
La notación sigma formaliza las "sumas de sucesiones" de esta U4; conecta con la sucesión aritmética (la fórmula de Gauss es su suma) y anticipa la integral del cálculo.
Khan Academy · SumatoriasPráctica de notación sigma y fórmulas.
Tarjetas de sumatorias
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Manejar la notación sigma
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