La misma idea de "lugar geométrico", tres curvas nuevas
¿Por qué "cónicas"? Cortar un cono
Imagina un cono doble (dos embudos unidos por la punta). Si lo cortas con un plano horizontal, la sección es una CIRCUNFERENCIA. Inclinas un poco el plano y sale una ELIPSE (un óvalo cerrado). Cuando el plano queda paralelo a una del generatriz del cono, la curva "se abre" y es una PARÁBOLA. Si lo inclinas aún más (paralelo al eje), cortas las dos mitades del cono y obtienes una HIPÉRBOLA (dos ramas sueltas). Una sola operación —cortar— genera toda la familia; por eso comparten propiedades de focos.
La parábola: equidistancia a foco y directriz
- Definición: lugar geométrico de los puntos que equidistan de un FOCO y de una RECTA DIRECTRIZ.
- Forma vertical con vértice en el origen: x² = 4py (o y = ax²); abre hacia arriba si p es positivo.
- El parámetro p mide cuánto "abre" la parábola: foco en (0, p), directriz y = −p.
- Forma horizontal: y² = 4px (abre a derecha/izquierda).
Ejemplo resuelto: foco y directriz
Para x² = 12y: comparas con x² = 4py → 4p = 12 → p = 3. Foco en (0, 3), directriz y = −3, vértice en el origen, abre hacia arriba.
La elipse: suma de distancias a dos focos
- Definición: puntos cuya SUMA de distancias a dos focos es constante.
- Ecuación con centro en el origen: x²/a² + y²/b² = 1, con a mayor que b (a semieje mayor, b semieje menor).
- Los focos están sobre el eje mayor, a distancia c del centro, con c² = a² − b².
- EXCENTRICIDAD e = c/a (entre 0 y 1): cuánto se "estira" la elipse. e cercano a 0 casi círculo; cercano a 1 muy aplastada.
Ejemplo resuelto: elementos de una elipse
Para x²/25 + y²/9 = 1: a = √25 = 5, b = √9 = 3 (eje mayor horizontal).
- c² = a² − b² = 25 − 9 = 16 → c = 4: focos en (±4, 0).
- Excentricidad e = c/a = 4/5 = 0.8 (elipse bastante aplastada).
La hipérbola: resta de distancias
- Definición: puntos cuya RESTA (en valor absoluto) de distancias a dos focos es constante.
- Ecuación: x²/a² − y²/b² = 1 (abre horizontalmente), con dos ramas y asíntotas y = ±(b/a)x.
- c² = a² + b² (aquí SUMA, al revés que la elipse); excentricidad e mayor que 1.
- Las asíntotas son rectas que la curva nunca toca pero a las que se acerca: una firma del comportamiento "infinito".
Distinguir las tres ecuaciones de un vistazo
- x²/a² + y²/b² = 1 → ELIPSE (signo + entre los dos términos).
- x²/a² − y²/b² = 1 → HIPÉRBOLA (signo − entre términos).
- Solo un cuadrado lineal en la otra variable (x² = 4py) → PARÁBOLA.
Órbitas: por qué Kepler eligió la elipse
Kepler descubrió que los planetas no giran en círculos sino en ELIPSES con el Sol en UNO de los focos (no en el centro). La distancia al Sol varía: en el perihelio el planeta está más cerca y va más rápido; en el afelio, más lejos y más lento. Las cometas de una sola pasada describen hipérbolas (e mayor que 1: entran, doblan cerca del Sol y se escapan para siempre), y las de órbita cerrada, elipses muy alargadas. La geometría analítica del siglo anterior resultó ser el lenguaje exacto del cielo.
Básico
La ecuación x²/16 + y²/9 = 1 representa:
El Sol está en el centro de la elipse orbital de un planeta.
En la parábola x² = 4py, el parámetro fija el foco en (0, ) y qué tan abierta está.
Intermedio
Une cada curva con su definición de lugar geométrico:
En la elipse x²/25 + y²/16 = 1, calcula c (la distancia del centro a cada foco). Entero.
Para identificar una cónica dada su ecuación:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
Avanzado
Sobre una elipse con a = 5 y b = 3. La afirmación con ERROR es:
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Un faro automotriz tiene una superficie reflectante con sección parabólica x² = 4py y la bombilla (foco) debe quedar a 4 cm del vértice. Escribe la ecuación y explica, con la propiedad óptica de la parábola, por qué la luz sale en haz paralelo.
Se evalúa p = 4 ⇒ x² = 16y, y razonar que todo rayo que parte del foco y golpea la parábola se refleja paralelo al eje, dando un haz recto.
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Aplicaciones reales
- Antenas parabólicas y telescopios: recogen señal/luz paralela y la concentran en el foco (o al revés).
- Astronomía: órbitas elípticas e hiperbólicas de planetas, cometas y sondas (asistencia gravitatoria).
- Arquitectura y acústica: bóvedas elípticas "de susurros" y diseños que usan asíntotas en estructuras.
Errores frecuentes
- Poner el Sol en el centro de la elipse (va en un foco).
- Usar c² = a² + b² para la elipse (es menos).
- Confundir la asíntota de la hipérbola con una parte de la curva.
Conexiones con otros aprendizajes
Las cónicas prolongan la circunferencia y "completar cuadrados" de esta U3; las asíntotas anticipan los límites de la U4; y las órbitas conectan con la gravitación✦ de ciencias naturales.
Khan Academy · Secciones cónicasPráctica de parábolas, elipses e hipérbolas.
Tarjetas de cónicas
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Reconocer y usar las cónicas
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