La idea que unió álgebra y geometría
Distancia y punto medio: Pitágoras working
La distancia entre A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias de coordenadas: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. El punto medio es simplemente el promedio de cada coordenada: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
Ejemplo resuelto: distancia y punto medio
A(1, 2) y B(7, 10):
- Δx = 7 − 1 = 6, Δy = 10 − 2 = 8.
- d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
- M = ((1+7)/2, (2+10)/2) = (4, 6).
La pendiente: cuánto sube por cada paso
- m = Δy / Δx = (y₂−y₁)/(x₂−x₁): razón de cambio vertical respecto al horizontal.
- m > 0 recta sube (creciente); m < 0 baja (decreciente); m = 0 horizontal; vertical → SIN pendiente (Δx = 0, dividirías entre cero).
- Inclinación θ: m = tan θ. Pendiente 1 = 45°, pendiente √3 ≈ 60°.
- Paralelas: misma pendiente (m₁ = m₂). Perpendiculares: pendientes recíprocas y de signo opuesto (m₁ · m₂ = −1). Ejemplo: una recta de pendiente 2 es perpendicular a otra de pendiente −1/2.
Las cuatro caras de la recta
| Forma | Ecuación | Cuándo conviene |
|---|---|---|
| Punto-pendiente | y − y₁ = m(x − x₁) | conoces un punto y la pendiente (la más natural al construir) |
| Pendiente-ordenada | y = mx + b | ves de inmediato la pendiente y el corte con el eje Y (b) |
| General | Ax + By + C = 0 | forma simétrica para algoritmos y distancia punto-recta |
| Canónica / segmentaria | x/a + y/b = 1 | muestra los cortes con ambos ejes (a, b) |
- Son la MISMA recta escrita distinto: para comparar, lleva todas a y = mx + b despejando Y.
Distancia de un punto a una recta
Usa la forma general: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²), para el punto (x₀, y₀) y la recta Ax + By + C = 0. El valor absoluto garantiza distancia positiva.
La circunferencia: todo punto a la misma distancia
Una circunferencia es el LUGAR GEOMÉTRICO de los puntos que están a distancia fija r (radio) de un centro C(h, k). Traducido con la fórmula de distancia: (x−h)² + (y−k)² = r². Centro (h, k), radio r.
- Centro en el origen: x² + y² = r².
- Si el "lado derecho" fuera NEGATIVO, la circunferencia es IMAGINARIA (no existe); si r² = 0, es un PUNTO (degenerada).
Ejemplo resuelto: completar cuadrados
Lleva x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 a la forma canónica y da centro y radio.
- Agrupa: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12.
- Completa: suma (−6/2)² = 9 y (4/2)² = 4 a ambos lados → (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 = 25.
- Factoriza: (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
- Centro C(3, −2), radio r = 5.
Básico
La pendiente de la recta que pasa por (2, 1) y (6, 9) es:
Dos rectas perpendiculares siempre tienen la misma pendiente.
La ecuación (x−2)² + (y+5)² = 9 tiene centro en y radio .
Intermedio
Une cada forma de la recta con su lectura directa:
Una circunferencia tiene centro (0, 0) y pasa por (6, 8). ¿Cuál es su radio? Entero.
Para hallar el centro y radio de x² + y² + Dx + Ey + F = 0:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
Avanzado
Un alumno resuelve "(x−1)² + (y+3)² = 16". La afirmación con ERROR es:
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Un arco de puente tiene forma de semicircunferencia de radio 20 m y centro en la base. Plantea la ecuación, y calcula la altura del arco a 12 m del centro. Dibuja, traduce a (x−h)² + (y−k)² = r² y despeja y.
Se evalúa plantear x² + y² = 400, sustituir x = 12 y obtener y = √(400 − 144) = √256 = 16 m.
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Aplicaciones reales
- GPS y trilateración: cada satélite define una circunferencia (o esfera) de puntos a su distancia; tu posición es donde se cortan. Geometría analítica pura.
- Radar y cobertura: una antena alcanza un círculo; la ecuación de la circunferencia dice qué localidades quedan dentro.
- Diseño y CNC: trayectorias rectas y arcos se programan con pendiente y centro-radio.
Errores frecuentes
- Olvidar que (y + 5)² ⇒ k = −5: el signo del centro se invierte.
- Completar cuadrados sumando solo a un lado de la ecuación.
- Confundir perpendicular (m₁m₂ = −1) con paralelo (m₁ = m₂).
- Pendiente como Δx/Δy: siempre Δy sobre Δx (elevado entre corrido).
Conexiones con otros aprendizajes
Con la U1 (funciones) la recta es la función lineal y = mx + b; con la U2 (trigonometría) la pendiente es tan θ; con la U4 (sucesiones y cambio) la razón de cambio de la recta anticipa la derivada; y con CNEYT, la trilateración del GPS y los mapas son geometría analítica aplicada.
Khan Academy · Geometría analíticaPráctica interactiva de distancia, pendiente y ecuación de la circunferencia.
Tarjetas del plano
Toca una tarjeta para ver la respuesta.
Traducir entre figura y ecuación
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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