El mundo no crece en línea recta: respira en ciclos
En la lección anterior usaste seno, coseno y tangente para resolver triángulos rectángulos. Ahora esas mismas funciones se desprenden del triángulo y se dibujan para TODOS los ángulos, usando el círculo. Si un punto gira en un círculo de radio 1, su altura sobre el centro cambia exactamente como la función seno, y su posición horizontal como la del coseno. Por eso se llaman funciones circulares y por eso aparecen cada vez que hay una rotación.
Los cuatro parámetros y qué le hacen a la onda
| Parámetro | Ecuación | Qué controla | Cómo se calcula de datos |
|---|---|---|---|
| amplitud | A | cuánto se aleja del centro | A = (maximo menos minimo) entre 2 |
| ecuación media (desplazamiento vertical) | D | dónde está el centro de la onda | D = (maximo mas minimo) entre 2 |
| periodo | P o B | cuánto tarda en repetirse | B = 2 pi entre P; P = 2 pi entre B |
| fase (desplazamiento horizontal) | C | dónde empieza el ciclo | C = la coordenada de un máximo conocido |
La forma que vas a usar siempre es y = A por f(B(x menos C)) mas D, donde f es seno o coseno. Leer esta ecuación en voz alta: "la cantidad oscila A unidades arriba y abajo de un centro D, se repite cada 2 pi entre B unidades de x, y el ciclo empieza en x igual a C". Si sabes eso en voz alta, sabes modelar.
f(x) = sin(x) · f(x) = 2*sin(x) · f(x) = sin(2*x)
Ejemplo resuelto completo: las horas de luz en la Ciudad de México✦
Del dato del almanaque a la ecuación, paso a paso
1. Junta los dos extremos
El día más largo (21 de junio) dura alrededor de 13,9 horas de sol; el más corto (21 de diciembre), alrededor de 10,4 horas.2. Centro de la onda (D)
D = (13,9 mas 10,4) entre 2 = 12,15 horas. Ese es el promedio anual, no las 12 horas exactas del equinoccio porque la atmósfera refracta la luz.3. Amplitud (A)
A = (13,9 menos 10,4) entre 2 = 1,75 horas. La duración se aleja hasta 1,75 horas del centro.4. Periodo (P) y B
Un ciclo completo dura 365 días, así que P = 365 y B = 2 pi entre 365 = 0,01724.5. Fase (C)
El máximo ocurre el día 172 del año (21 de junio). Usando coseno, que arranca en su máximo, la forma es L(t) = D mas A por cos(B(t menos C)).6. Ecuación final
L(t) = 12,15 mas 1,75 por cos(0,01724 por (t menos 172)), con t en días desde el 1 de enero.7. Valida el modelo
Para t = 172 el coseno de 0 vale 1 y L = 12,15 mas 1,75 = 13,90. Correcto. Para t = 352 (21 de diciembre) el argumento es 0,01724 por 180 = 3,10 radianes, casi pi, y su coseno es menos 0,998: L = 12,15 menos 1,74 = 10,41. El almanaque dice 10,4. Cuadra.
Paso 1 de 7
Usa el modelo anterior: ¿cuántas horas de luz hay el día 60 del año (1 de marzo)? Da el valor con un decimal.
Rueda de la fortuna: el modelo que pregunta por el tiempo
Una rueda de 20 metros de diámetro gira una vuelta cada 2 minutos y su punto más bajo está a 1 metro del suelo. El centro de la rueda está entonces a 11 metros. La altura del asiento es h(t) = 11 menos 10 por cos(2 pi t entre 120), con t en segundos: se resta el coseno porque en t = 0 el asiento está abajo (el coseno vale 1, y menos 10 lo lleva al mínimo 1).
¿Cuándo alcanza el asiento los 16 metros de altura?
1. Plantea
16 = 11 menos 10 por cos(2 pi t entre 120).2. Aísla el coseno
16 menos 11 = menos 10 por cos, así que 5 = menos 10 por cos y cos = menos 0,5.3. Resuelve el ángulo
El coseno vale menos 0,5 en 2 pi entre 3 radianes (120 grados).4. Despeja t
2 pi t entre 120 = 2 pi entre 3, de donde t entre 120 = 1 entre 3 y t = 40 segundos.5. Segunda solución
La onda vuelve a pasar por 16 metros al bajar: el otro ángulo es 4 pi entre 3, que da t = 80 segundos. Dos momentos en cada vuelta, siempre que el valor esté entre máximo y mínimo.6. Checa rango
El asiento va de 1 a 21 metros. Si hubieras preguntado por 25 metros, la ecuación no tendría solución, y eso es una respuesta válida: imposible.
Paso 1 de 6
Básico: lee una ecuación sin graficar
En la función y = 3 por sen(2x) mas 1, ¿cuál es el valor máximo?
¿Cuál parámetro cambia el tiempo que tarda la onda en repetirse?
La función y = sen(x) mas cos(x) tiene amplitud 1.
En la ecuación h(t) = 11 menos 10 cos(2 pi t entre 120), el número 11 es la , el 10 es la y 120 es el .
Intermedio: construye el modelo desde datos
La marea de un puerto sube hasta 3,2 metros y baja hasta 0,6 metros, y se repite cada 12,4 horas. Da la AMPLITUD del modelo, en metros.
Una corriente alterna en México completa 60 ciclos cada segundo. ¿Cuánto dura un ciclo, en milisegundos? Da el valor con dos decimales.
Une cada fenómeno con el periodo natural que le corresponde:
Clasifica los parámetros según el efecto que producen en la gráfica:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Avanzado: fase, y el modelo que se corre de lugar
Un estudiante escribió este modelo de temperatura diaria. Una de las líneas contiene un error de modelado:
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Con la temperatura modelada como T(t) = 22 menos 6 por cos(2 pi por (t menos 6) entre 24), con t en horas desde la medianoche, ¿cuál es la temperatura a las 15 horas? Da un decimal.
Durante siete días anota la temperatura máxima y mínima de tu ciudad (app del clima). Calcula centro y amplitud del promedio diario, estima el periodo y ubica el día del mínimo. Escribe la ecuación y luego verifica con el octavo día: ¿tu modelo acierta dentro de 2 grados? Reporta la desviación y explica una causa.
Un modelo es bueno si predice. Si tu validación falla mucho, no descargues el modelo: revisa si la semana tuvo un frente frío, que es justo la variable que el modelo periódico puro no conoce.
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Aplicaciones y problemas reales
- INGENIERÍA ELÉCTRICA: el voltaje de tu casa es V(t) = 127 por seno o coseno de 2 pi por 60 t. Los 127 volts que aparecen en los manuales son el valor RMS, es decir la amplitud entre raíz de 2; la cresta real ronda los 180 volts.
- ARQUITECTURA Y ENERGÍA SOLAR: la altura del Sol al mediodía varía con la misma matemática de las horas de luz; de ahí sale el ángulo óptimo de un panel según la latitud.
- MEDICINA: la presión arterial y el ritmo cardiaco se modelan con ondas; un electrocardiograma es un registro periódico cuya frecuencia anormal se detecta midiendo el periodo.
- ACÚSTICA Y MÚSICA: una nota La de 440 hertz tiene periodo 1 entre 440 segundos; la octava siguiente duplica la frecuencia y reduce el periodo a la mitad. Los instrumentos son trigonometría con caja de resonancia.
- AGRONOMÍA Y ECOLOGÍA: los ciclos de floración, la migración y la fotosíntesis siguen modelos periódicos con fase distinta por hemisferio. La misma ecuación, seis meses de desfase: eso es la fase C.
- ECONOMÍA: las ventas navideñas, el turismo de Semana Santa y la siembra-germinación muestran estacionalidad. En Contaduría se quita la parte periódica para poder ver la tendencia: es el mismo A, B, C, D.
Cómo se elige entre seno y coseno (y por qué da igual)
Seno y coseno son la MISMA onda corrida un cuarto de ciclo: cos(x) = sen(x mas pi entre 2). Si tu dato arranca en el centro y sube, usa seno; si arranca en el máximo, usa coseno; si arranca en el mínimo, usa menos coseno. Cualquier elección se corrige con C, así que en la práctica usa la función que te dé el C más simple. En el ejemplo de la rueda elegimos menos coseno porque en t = 0 el asiento estaba en su mínimo, y así C = 0.
Errores conceptuales frecuentes
- Trabajar en grados dentro de una ecuación de periodo: el argumento de seno y coseno en análisis es SIEMPRE radians. La calculadora en modo DEG es la causa número uno de resultados absurdos.
- Confundir frecuencia con periodo: son recíprocas, y 60 hertz no duran 60 segundos.
- Olvidar el signo menos del coseno y obtener un máximo donde debía haber un mínimo.
- Tomar la amplitud como el valor máximo absoluto, ignorando el centro desplazado.
- Creer que un modelo periódico describe un fenómeno real para siempre: ningún ciclo puro dura siglos; sirve mientras la desviación sea pequeña.
Conexiones con otros aprendizajes
Necesitas el círculo trigonométrico y la medida en radianes de las lecciones previas de esta unidad. El concepto de razón de cambio que verás en la Unidad 4 y en Pensamiento Matemático V (la derivada de una onda) se construye sobre estas gráficas: la velocidad de un asiento en la rueda es la pendiente de esta curva. En Ciencias Naturales IV, la onda sonora, la luz y las reacciones periódicas usan exactamente esta ecuación. Y en Cultura Digital, un archivo de audio es una lista enorme de muestras de estas funciones.
Khan Academy en español: funciones trigonométricas y modelado periódicoGráficas interactivas para ver cómo A, B, C y D deforman la onda en tiempo real.
Horas de sol reales de la Ciudad de México ( Time and Date )Fuente para validar tu modelo de fotoperiodo con datos oficiales de salida y puesta.
Construir y usar un modelo periódico
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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