Del dato suelto a la historia del cambio
Tasa de variación promedio a partir de una tabla
Si tienes (t₁, f(t₁)) y (t₂, f(t₂)), la TASA MEDIA de cambio en ese intervalo es (f(t₂) − f(t₁)) / (t₂ − t₁): cuánto cambia la salida por unidad de entrada. Es la pendiente de la recta que une ambos puntos. Puedes calcularla entre dos puntos CUALESQUIERA para comparar intervalos: si la tasa entre 2010 y 2015 es mayor que la de 2005 a 2010, el crecimiento se está ACELERANDO.
Estimar la tasa instantánea con datos vecinos
- La tasa INSTANTÁNEA en un punto es la derivada: no siempre tienes la fórmula, pero sí datos.
- Truco: toma el punto de interés y uno MUY cercano, calcula su tasa media; esa es una aproximación de la instantánea.
- Mejor aún: promedia las tasas de los intervalos a la izquierda y a la derecha (tasa central) para reducir el error.
Lineal vs exponencial: distinguir el tipo de crecimiento
| Rasgo | Lineal (aritmético) | Exponencial (geométrico) |
|---|---|---|
| Cómo cambia | suma una cantidad fija | multiplica un factor fijo |
| Tasa de cambio | CONSTANTE (recta) | crece proporcional al valor |
| Prueba en datos | diferencias iguales | razones iguales |
| Ejemplo | salario +500/mes | bacteria que duplica cada hora |
Vida media y decaimiento
Muchos procesos exponenciales BAJAN a la mitad en tiempos regulares: la VIDA MEDIA de un fármaco, de un isótopo radiactivo o de un contaminante. Si cada periodo de vida media m halvea la cantidad, tras n vidas queda (1/2)ⁿ de la original. La clave contra-intuitiva: la vida media NO depende de cuánto había; siempre baja a la mitad en el mismo tiempo.
Ejemplo resuelto: vida media de un fármaco
Un medicamento tiene vida media de 6 h y quedan 200 mg en sangre:
- A las 6 h: 100 mg. A las 12 h: 50 mg. A las 18 h: 25 mg.
- Fórmula: cantidad = 200 · (1/2)^(t/6). A las 15 h: 200 · (1/2)^2.5 ≈ 35 mg.
Crecimiento y decaimiento continuo: la base e
Cuando algo cambia en cada INSTANTE de forma proporcional a su valor (interés continuo, reproducción, enfriamiento), aparece el número e ≈ 2.718 y el modelo A = A₀ · e^(kt). Aquí k es la tasa relativa instantánea. Es el "primo continuo" de las sucesiones geométricas discretas de este capítulo: si el crecimiento es por pasos, usa potencias; si es fluido, usa e. De aquí sale, sin darte cuenta, la semilla del cálculo que ya viste: k es la derivada dividida entre la función.
Interpolación y extrapolación: leer dentro y fuera de los datos
- INTERPOLAR: estimar ENTRE dos datos conocidos (más confiable); unirlos con la recta o curva que los ajusta.
- EXTRAPOLAR: estimar MÁS ALLÁ del rango (peligroso): asume que la tendencia sigue, pero los modelos exponenciales explotan y los lineales se quiebran.
- Cuidado con sobre-interpretar: dos puntos siempre definen una recta, pero el mundo puede ser curvo entre medias.
Básico
Unos datos crecen así: 3, 6, 12, 24, …. El modelo es:
La vida media de una sustancia depende de la cantidad inicial que hubiera.
La tasa media de cambio de f entre t₁ y t₂ es (f(t₂) − f(t₁)) / .
Intermedio
Une cada prueba sobre datos consecutivos con su modelo:
Una población pasa de 2000 a 3200 en 5 años. ¿Cuál es su tasa media de crecimiento anual (individuos por año)? Entero.
Para decidir si modelar con recta o con exponencial:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
Avanzado
Sobre un fármaco con vida media de 4 h y 80 mg iniciales. La afirmación con ERROR es:
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
La temperatura de un café sigue el enfriamiento de Newton: T(t) = TA + (T₀ − TA)e^(−kt). Con TA = 20 °C, T₀ = 90 °C y k = 0.1 por minuto, calcula T a los 10 min y explica por qué la tasa de enfriamiento es mayor al principio.
Se evalúa T(10) = 20 + 70·e^(−1) ≈ 20 + 25.7 ≈ 45.7 °C, y razonar que la tasa es proporcional a la diferencia con el ambiente, que es grande al inicio y mengua.
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Aplicaciones reales
- Medicina y dosificación: el intervalo entre dosis se fija por la vida media para mantener el fármaco en rango útil.
- Datación por carbono-14: la vida media conocida permite calcular la edad de un fósil midiendo cuánto queda.
- Finanzas: el interés continuo (A = A₀e^(rt)) y el análisis de tasas de crecimiento de una inversión.
Errores frecuentes
- Tratar un crecimiento exponencial como si fuera lineal (subestimar la explosión de casos).
- Extrapolar lejos y esperar que la tendencia continúe indefinidamente.
- Confundir "baja a la mitad" con "baja una cantidad fija" cada periodo.
Conexiones con otros aprendizajes
Este capítulo aplica la razón de cambio promedio e instantánea de esta U4; conecta con el crecimiento geométrico/exponencial de la U1; con la pendiente de la recta de la U3; y con las ciencias naturales (vida media, cinética) y las socioemocionales del pensamiento crítico con datos.
Khan Academy · Tasas de cambioPráctica de razón de cambio y modelos.
Tarjetas de modelado del cambio
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Sacar la historia de unos datos de cambio
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