Volumen: cuánto cabe adentro
La idea maestra: base por altura
Imagina un cuerpo apilando capas iguales. El volumen es «de qué tamaño es una capa» (el área de la base) multiplicado por «cuántas capas hay» (la altura). Por eso el cubo, el prisma y el cilindro comparten la misma lógica.
| Cuerpo | Área de la base | Volumen |
|---|---|---|
| Cubo (arista a) | a² | a³ |
| Prisma rectangular (l, a, h) | l · a | l · a · h |
| Cilindro (radio r, altura h) | π · r² | π · r² · h |
| Esfera (radio r) | — | (4 entre 3) · π · r³ |
| Cono (radio r, altura h) | π · r² | (1 entre 3) · π · r² · h |
¿Cuánto ocupa un cilindro de radio 2 y altura 5? (usa π ≈ 3)
Conceptos erróneos
- «Volumen y capacidad son idénticos»: el volumen es el espacio que ocupa el cuerpo; la capacidad, lo que cabe dentro (un vaso grueso tiene más volumen que capacidad).
- «Las unidades cúbicas se convierten de 10 en 10»: de m³ a dm³ se multiplica por 1000, porque es un cubo de 10.
- «El cono y el cilindro tienen el mismo volumen»: con la misma base y altura, el cono es la tercera parte.
Un cubo de arista 3 cm tiene volumen…
El volumen de un cono es la tercera parte del cilindro de la misma base y altura
El volumen de casi cualquier prisma o cilindro se calcula multiplicando el área de la por la .
Clasifica cada cuerpo según su fórmula de volumen.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Pares de volumen
Vocabulario del volumen
Busca las seis palabras; algunas están al revés.
Toca la primera letra y luego la última de cada palabra (en línea recta) para marcarla.
Ejemplo resuelto
- Una caja mide 40 cm de largo, 25 cm de ancho y 20 cm de alto.
- Volumen = 40 · 25 · 20 = 20 000 cm³.
- Como 1000 cm³ equivalen a 1 litro, la caja guarda alrededor de 20 litros.
- Si la lleno de agua, su capacidad máxima ronda esos 20 L.
¿Para qué sirve?
Saber cuánta agua guarda un tinaco, cuánto concreto cabe en una zapata, cuántas mudanzas entran en un camión o cuántos litros caben en un bote de pintura: todo son problemas de volumen.
Para seguir practicando
Khan Academy · volumenEjercicios de volumen de prismas, cilindros y cuerpos redondos.
GeoGebra 3D · cuerposRota prismas y cilindros y observa sus fórmulas de volumen.
Un tinaco cilíndrico de radio 1 m y altura 2 m, ¿cuántos litros guarda aproximadamente? (π ≈ 3.14 y 1 m³ = 1000 L)
V = π · 1² · 2 ≈ 6.28 m³ = 6280 litros.
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SEP · MX-SEC-G3-MAT-C01-P01 · representa algebraicamente áreas y volúmenes de cuerpos geométricos y calcula una variable en función de otra
Un cuerpo geométrico tiene medidas que puedes describir con FÓRMULAS ALGEBRAICAS: el volumen de un prisma rectangular es V = l·a·h; el de un cilindro, V = πr²h; el de una esfera, V = (4/3)πr³. Aquí las letras (l, a, h, r) son VARIABLES: cantidades que pueden cambiar. Al escribir V = πr²h con una altura fija de 10, tienes una fórmula que EXPRESA una cantidad (el volumen) en función de otra (el radio): V(r) = 10πr². Cambia r y V cambia siguiendo esa regla.
Calcular "una variable en función de otra" significa despejar y sustituir con sentido. Si quieres que un cilindro almacene 314 cm³ y mides h, la relación h = 314/(πr²) te dice qué altura necesitas para cada radio: al aumentar r, h disminuye, y puedes graficar esa dependencia. Cuidado con las UNIDADES (cm³ para volumen, cm² para área) y con el DOMINIO (el radio y la altura no pueden ser negativos ni cero). Representar algebraicamente es pasar del dibujo y la fórmula aritmética al lenguaje de las funciones, donde puedes predecir sin medir cada caso.
Evidencia de producto · MX-SEC-G3-MAT-C01-P01
El PDA pide EXPRESAR algebraicamente el ÁREA o VOLUMEN de un cuerpo cuando alguna dimensión lleva una variable, y calcular el valor de la variable dado un valor de la fórmula. La evidencia es la expresión con x, la ecuación y su resolución.
Producto (expresión y despeje): considera un cuerpo (prisma, cilindro o caja) con una dimensión desconocida x. (1) escribe su volumen V como expresión con x (por ejemplo V = (x)(x+2)(x-1), o V = π·r²·h con r = x); (2) plantea una ecuación igualando V a un valor dado; (3) despeja o resuelve para x comprobando la solución en la fórmula; (4) indica las unidades (cúbicas). Pega tu expresión, tu ecuación y tu solución.
Volumen de prisma = área de base × altura; del cilindro, π·r²·h. Al resolver, sustituye de nuevo x para verificar y descarta soluciones negativas.
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Criterios de evaluación (rúbrica) de este producto — autoevalúa cada criterio: Logrado / En progreso / Aún no.
| Criterio | Qué se espera | Mi nivel |
|---|---|---|
| Modela el volumen con la variable | Escribe la expresión correcta según el cuerpo. | |
| Plantea la ecuación | Iguala el volumen a un valor y forma la ecuación. | |
| Resolución correcta | Halla x y verifica sustituyéndola en la fórmula. | |
| Unidades y coherencia | Usa unidades cúbicas y dimensiones físicamente posibles. | |
| Revisión y validación | Lo revisé con un/a compañero/a, docente o persona competente y aplicé al menos una mejora. |
Coevaluación: tu compañero/a sustituye tu valor de x en la fórmula original. ¿Recupera el volumen dado? ¿Hay una solución que deba descartarse? Anota la comprobación.
Intercambia con un/a compañero/a o entrega a tu docente. Pega aquí la retroalimentación recibida y tu compromiso de mejora.
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Comprueba lo que aprendiste
Con la altura fija h = 10, el volumen de un cilindro V = πr²h expresa:
Si un cilindro debe contener 314 cm³, su altura se relaciona con el radio mediante h = 314/( r^{2}).
Explicación visual: Volumen: cuánto cabe adentro
- Volumen: cuánto cabe adentro
- La idea maestra: base por altura
- Volumen del prisma rectangular
- Volumen del cilindro
- Conceptos erróneos
- Ejemplo resuelto
- Escena 7
Antes de continuar, responde con tus palabras. ¿Qué idea central te llevas de aquí?
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