Aplicaciones de integrales I

✦ Estudio del metodo de discos y arandelas para calcular volumenes de solidos de revolucion, y el metodo de capas cilindricas como alternativa en tercero de preparatoria

Roadwise Consulting

Firmado y verificado · Fernando Castro

Objetivo: Comprender las aplicaciones de la integral: calculo de volumenes de solidos de revolucion.

7 min

Más

Aplicaciones de integrales I

Herramientas de la lección

◉ Entrar a La Matrix

Sorpréndeme

Sobre este contenido

Firmado y verificado Fernando Castro

Lo que aprendesComprender las aplicaciones de la integral: calculo de volumenes de solidos de revolucion.

Datos7 min · Español

Temas #volumen #solido de revolucion #disco #arandela #capa cilindrica #integral #eje de rotacion #area transversal

Ir a

Volver a Objetos Cursos Explorar Mi cuenta Salir del modo estudio

Volumenes: solidos de revolucion

La integral permite calcular volumenes de solidos de revolucion. Si rotas una curva alrededor de un eje, se genera un solido. El metodo de discos: si rotas f(x) alrededor del eje x, el volumen es integral de a a b de pi * [f(x)]^2 dx. Cada rebanada perpendicular al eje es un disco de radio f(x) y espesor dx.

El metodo de arandelas se usa cuando hay un hueco: si rotas el area entre f(x) y g(x) (con f>g) alrededor del eje x, el volumen es integral de a a b de pi ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx. Cada rebanada es una arandela (disco con hueco). El metodo de capas cilindricas: si rotas alrededor del eje y, el volumen es integral de a a b de 2pixf(x) dx. Cada capa es un cilindro hueco de radio x, altura f(x) y espesor dx.

Metodo	Formula	Cuando se usa
Discos	V = integral de a a b de pi*[f(x)]^2 dx	Rotar f(x) alrededor del eje x (sin hueco)
Arandelas	V = integral de a a b de pi*([f(x)]^2-[g(x)]^2) dx	Rotar area entre f(x) y g(x) (con hueco)
Capas cilindricas	V = integral de a a b de 2pix*f(x) dx	Rotar alrededor del eje y (mas facil que discos)

El volumen de un solido generado al rotar f(x) = x^2 de x=0 a x=2 alrededor del eje x es:

Relaciona cada metodo con su formula:

Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.

El de solidos de revolucion se calcula con integrales. El metodo de : V = integral de pi[f(x)]^2 dx (sin hueco). El metodo de : V = integral de pi([f(x)]^2-[g(x)]^2) dx (con hueco). El metodo de cilindricas: V = integral de 2pix*f(x) dx (rotar alrededor del eje y).

Piensa en objetos de revolucion de tu vida: una copa de vino (rotar una curva alrededor del eje), un vaso (rotar un rectangulo), una botella (rotar una curva compleja). Todos son solidos de revolucion. La integral te dice cuanto liquido caben (volumen). Eso es el calculo integral aplicado al diseno industrial.

Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.

Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.

Más sobre esta lección

¿Todavía no te queda claro?

No pasa nada: vamos a verlo de otra manera

Elige el ángulo que más te ayude. Nada es obligatorio ni cuenta como nota.

Practica un pocoCalcula volumenes de revolucion

Calcula el volumen del solido generado al rotar f(x) = x^2 de x=0 a x=2 alrededor del eje x. Metodo de discos: V = integral de 0 a 2 de pi(x^2)^2 dx = pi integral de 0 a 2 de x^4 dx = pi [x^5/5] de 0 a 2 = pi (32/5 - 0) = 32pi/5. Escribe los pasos detallados.

↑ Volver al objeto

Repasa esto primeroCompara los tres metodos

Elabora un cuadro comparativo entre discos, arandelas y capas cilindricas. Para cada uno indica: formula, cuando se usa, ejemplo geometrico, fortaleza, debilidad. Practica con f(x)=x, f(x)=x^2, f(x)=sqrt(x). Escribe un reporte de 400 palabras.

↑ Volver al objeto