Aplicaciones de integrales II

✦ Estudio del calculo de longitud de arco de una curva y el area de la superficie generada al rotar una curva alrededor de un eje en tercero de preparatoria

Roadwise Consulting

Firmado y verificado · Fernando Castro

Objetivo: Comprender las aplicaciones de la integral: longitud de arco y area de superficies.

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Firmado y verificado Fernando Castro

Lo que aprendesComprender las aplicaciones de la integral: longitud de arco y area de superficies.

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Temas #longitud de arco #area de superficie #integral #curva #rotacion #arco #superficie #formula

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Longitud de arco y area de superficie

La integral permite calcular la longitud de una curva. Si tienes una curva y = f(x) de x=a a x=b, la longitud del arco es integral de a a b de sqrt(1 + [f'(x)]^2) dx. Esta formula viene de aproximar la curva con segmentos rectos y sumar sus longitudes (como el perimetro de un poligono que se acerca a la curva).

El area de la superficie generada al rotar una curva alrededor de un eje tambien se calcula con integrales. Si rotas y = f(x) alrededor del eje x, el area de la superficie es integral de a a b de 2pif(x)sqrt(1 + [f'(x)]^2) dx. Esta formula combina la circunferencia (2pi*f(x)) con la longitud de arco (sqrt(1+[f'(x)]^2)). Las aplicaciones incluyen: diseno de piezas mecanicas (superficies de revolucion), calculo de distancias recorridas (longitud de trayectoria), y analisis de curvas en ingenieria.

Aplicacion	Formula	Ejemplo
Longitud de arco	L = integral de a a b de sqrt(1+[f'(x)]^2) dx	Longitud de y=x^2 de 0 a 1
Area de superficie (eje x)	A = integral de a a b de 2pif(x)*sqrt(1+[f'(x)]^2) dx	Superficie al rotar y=x^2 alrededor del eje x
Area de superficie (eje y)	A = integral de a a b de 2pix*sqrt(1+[f'(x)]^2) dx	Superficie al rotar y=x^2 alrededor del eje y

La longitud de arco de y = f(x) de x=a a x=b es:

Relaciona cada aplicacion con su formula:

Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.

La de arco de y=f(x) de a a b es integral de sqrt(1+) dx. El area de generada al rotar alrededor del eje x es integral de 2pif(x)*sqrt(1+[f'(x)]^2) dx. Estas formulas vienen de aproximar la curva con rectos y sumar sus (longitud) o circunferencias (area).

Piensa en la longitud de arco aplicada a tu vida: la distancia que recorres en un dia no es linea recta: sigues una curva (de casa a la escuela, de la escuela a casa). La longitud de esa curva es tu distancia real. El area de superficie es como la pintura que necesitas para cubrir un objeto de revolucion (una copa, un vaso, una botella). Eso es el calculo integral aplicado al diseno y la ingenieria.

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Practica un pocoCalcula longitudes de arco

Calcula la longitud de arco de y = x^2 de x=0 a x=1. f'(x) = 2x. L = integral de 0 a 1 de sqrt(1+(2x)^2) dx = integral de 0 a 1 de sqrt(1+4x^2) dx. Esta integral requiere sustitucion trigonometrica. Escribe los pasos detallados.

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Repasa esto primeroComprende las formulas

La longitud de arco viene de aproximar la curva con segmentos rectos: cada segmento tiene longitud sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2) = sqrt(1+(Delta y/Delta x)^2) * Delta x. Cuando Delta x tiende a 0, Delta y/Delta x tiende a f'(x). Entonces la longitud es integral de sqrt(1+[f'(x)]^2) dx. Escribe un reporte de 300 palabras.

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