Aplicaciones de integrales II: longitud y fisica
Las integrales tienen aplicaciones avanzadas en geometria y fisica. Permiten calcular longitud de curvas, area de superficies de revolucion, trabajo realizado por fuerzas, centro de masa y momentos de inercia. Estas aplicaciones son fundamentales en ingenieria y fisica.
Longitud de arco
La longitud de una curva y = f(x) desde x=a hasta x=b es: L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]²) dx. Esta formula viene del teorema de Pitagoras aplicado a pequenos segmentos de la curva.
- Longitud de arco: L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]²) dx.
- Area de superficie de revolucion: A = 2π∫[a,b] f(x)·√(1 + [f'(x)]²) dx.
- Trabajo: W = ∫[a,b] F(x) dx (fuerza por distancia).
- Centro de masa: x̄ = (1/M)∫x·ρ(x)dx.
- Momento de inercia: I = ∫r²·dm.
- Presion hidrostatica: F = ∫ρ·g·h(x)·w(x)dx.
- Consumo de energia: E = ∫P(t)dt.
| Aplicacion | Formula | Unidades |
|---|---|---|
| Longitud arco | ∫√(1+[f']²)dx | metros |
| Area superficie | 2π∫f·√(1+[f']²)dx | metros² |
| Trabajo | ∫F(x)dx | Joules |
| Centro masa | (1/M)∫x·ρ(x)dx | metros |
| Momento inercia | ∫r²·dm | kg·m² |
| Presion | ∫ρ·g·h·w dx | Newtons |
Aplicaciones en fisica
Trabajo
El trabajo realizado por una fuerza F(x) al mover un objeto de x=a a x=b es: W = ∫[a,b] F(x) dx. Si la fuerza es constante, W = F·d. Si varia, integramos.Centro de masa
El centro de masa de una lamina con densidad ρ(x) es: x̄ = (1/M)∫x·ρ(x)dx, donde M = ∫ρ(x)dx es la masa total. Es el punto de equilibrio.Momento de inercia
El momento de inercia mide la resistencia a rotar: I = ∫r²·dm. Para un disco: I = (1/2)mr². Para una varilla: I = (1/3)mL².
Paso 1 de 3
Las aplicaciones de integrales en fisica son fundamentales. Permiten calcular trabajo, energia, centro de masa, momentos y muchos otros conceptos. Sin integrales, no habria ingenieria moderna.
Piensa y responde
¿Cual es la formula de longitud de arco?
El trabajo es W = ∫F(x)dx.
La longitud de arco es L = ∫√(1 + []²) dx, y el area de superficie es A = 2π∫·√(1+[f']²)dx.
Relaciona cada aplicacion con su formula:
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Ordena los pasos para calcular longitud de arco:
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¿Puedes pensar en ejemplos de la vida diaria donde se use longitud de arco (cables, tubos, carreteras curvas)? ¿Como se calcula el centro de masa de un objeto?
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Para dominar este tema
- Longitud de arco: ∫√(1+[f']²)dx.
- Area superficie: 2π∫f·√(1+[f']²)dx.
- Trabajo: ∫F(x)dx.
- Centro masa: (1/M)∫x·ρ(x)dx.
- Momento inercia: ∫r²·dm.
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