Dos mundos se conectan con una razón: la escala
Escala lineal: leer, convertir, dibujar
| Escala | 1 cm en el plano son... | Usos típicos | Truco de lectura |
|---|---|---|---|
| 1:1 (maqueta real tamaño) | 1 cm | dibujo técnico a tamaño natural | 1 mm de dibujo = 1 mm real |
| 1:100 (plano arquitectónico) | 100 cm = 1 m | planos de casa | cada metro real: 1 cm en papel |
| 1:25,000 (mapa topográfico) | 250 m | senderismo, cartografía | 4 cm de mapa = 1 km real |
| 1:50,000 (cartina | 500 m | mapa carretero | 2 cm = 1 km |
| 1:2,000,000 (mapamundi regional) | 20 km | atlas escolar | los errores de escala se ven al medir distancias interciudades |
- Para pasar DE REAL a DIBUJO: divides la medida real por el factor de escala (conviértelas a la misma unidad primero).
- Para pasar DE DIBUJO a REAL: multiplicas por el factor.
- El área se escala con el FACTOR AL CUADRADO; el volumen, AL CUBO: un modelo 1:50 de un edificio usa 1/2,500 del material por m² de fachada y pinta para la maqueta: 2,500 veces menos por unidad de fachada... y su volumen es 1/125,000.
En un mapa a escala 1:50,000 dos pueblos aparecen a 6 cm de distancia. ¿Cuántos kilómetros reales los separan? Da un entero o decimal.
Mezclas: el promedio que pesa
Si en un examen cuenta 30% la tarea y 70% el examen, tu promedio NO es la media de las dos notas: es PONDERADA: nota_tarea × 0.30 + nota_examen × 0.70. Las concentraciones son lo mismo con líquidos: si mezclas 2 L de jugo al 10% de azúcar con 3 L al 25%, el azúcar total es 0.2 + 0.75 = 0.95 kg (aprox) y el volúmen 5 L → concentración final 19%: no 17.5% (media simple), no 10 ni 25: la mezcla vive ENTRE los dos valores, más cerca del que aporta más volumen.
- Regla del cruz (para mezclar rápido): distancias al valor objetivo con las cantidades intercambiadas: para conseguir 15% con 10% y 25%, mezcla en partes 10:5 = 2:1 (mucho del pobre, poco del rico).
- Diluir: la cantidad de soluto NO cambia, cambia el volumen: para bajar de 20% a 8% con 4 L de jarabe: soluto fijo → V_final = soluto/0.08: agregas agua hasta el volumen que la concentración exige.
- Aleaciones (el caso histórico): latón = cobre + zinc con proporciones fijas; la moneda de plata dejaba de ser "de plata" según la ley: el peso del metal fino por unidad de peso de moneda es una escala de valor.
Ejemplo resuelto: pintar un salón con mapa a escala
El plano del salón está a 1:50. En el papel, la pared mide 3 cm × 2.4 cm. Bote de pintura: 1 L rinde 9 m².
- Dimensiones reales: 3 × 50 = 150 cm = 1.5 m; 2.4 × 50 = 120 cm = 1.2 m.
- Área real: 1.5 × 1.2 = 1.8 m². (Área en papel: 7.2 cm²; nota: el factor de área es 50² = 2,500 → 7.2 cm² × 2,500 = 18,000 cm² = 1.8 m²: el CUADRADO del factor.)
- Pintura: 1.8 ÷ 9 = 0.2 L. Se compra bote por costo mínimo si pintas otras superficies: acumula antes de decidir.
- Verificación de sentido: una pared de menos de 2 m² no traga un litro: el 0.2 L es plausible; si tuvieras 2 L, el factor de área se fue de las manos.
Básico
Una escala 1:2,000 significa que 1 cm en el plano representa:
El promedio ponderado de dos notas con pesos 30% y 70% es la media aritmética de ambas.
Al reducir un dibujo a escala 1:10, las longitudes se reducen veces y las áreas, veces.
Intermedio
Une cada situación con la operación correcta:
Orden para resolver una mezcla con incógnita:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
Mezclas 3 L al 20% de alcohol con 1 L de agua. La concentración resultante es:
Avanzado
Un estudiante calcula cuánta tela necesita para una cortina con patrón del plano 1:20 de la ventana. La línea con ERROR es:
Marca la línea o las líneas con error y pulsa Comprobar.
Un grupo A tiene 10 estudiantes con promedio 8.2 y el grupo B, 20 con promedio 7.1. ¿Cuál es el promedio de los 30 juntos? Da dos decimales.
Diseña una "receta escalada": escoge una receta real (para 4) y redúcela a 1 y amplíala a 25, verificando que cada ingrediente es lineal (excepto donde no lo es: la sal en el hervor crece menos que el volumen; la superficie de un molde crece con el cuadrado...). Después: calcula el costo por porción y el % de ingrediente caro. Entrega: tabla de proporciones + nota de 4 líneas sobre qué NO escala linealmente y por qué (tiempos, superficie, calor).
Producto evaluable: identifica al menos un elemento no-lineal con la razón física correcta (tiempo de cocción no es proporcional al volumen: la superficie sí al cuadrado del factor).
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Aplicaciones y problemas reales
- COCINA: escalar recetas y "bajar a fuego" no es intuición: el volumen crece al cubo y la superficie al cuadrado — la olla grande hierve distinto.
- CONSTRUCCIÓN: mezclas de mortero (1 cemento : 3 arena : por agua) son razón + mezcla: la resistencia cambia con el peso relativo de cada componente.
- COMPRAS: "25% más gratis" vs "25% de descuento": no son la misma razón — base distinto, resultado distinto (20% de descuento equivale a pagar por 80 unidades lo que das por 100... la otra regala 25 sobre 100).
- CLIMA/ECOLOGÍA: dilución de contaminantes en un vaso de agua vs un río: misma masa, distinto volumen, distinto riesgo: la escala lo decide.
Errores frecuentes
- Aplicar la escala lineal a áreas o volúmenes.
- Promediar promedios sin ponderar tamaños.
- Mezclar unidades antes de convertir (cm con km en la misma multiplicación).
- Confundir "subir X%" con "bajar X%" (base distinta: 100→120→96 no vuelve a 100).
- En dilución, sumar concentraciones: se suma SOLUTO y se suman VOLÚMENES; la concentración es cociente, no aditiva.
Conexiones con otros aprendizajes
Con la geometría de medición (Unidad 4), el factor cuadrado/cúbico te da superficies y volúmenes de cuerpos reales; con CNEYT (concentraciones y mezclas) es la misma ecuación con vocabulario de química; con estadística de la Unidad 5, el promedio ponderado es la media de una tabla de frecuencias; y con Geografía: leer cartinas es traducir escalas.
OpenStax Prealgebra: razones, tasas y proporcionesCapítulos gratuitos con ejercicios de escalas y mezclas.
Tarjetas de escalas y mezclas
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Resolver problemas de escala y mezcla
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