Cómo abordar este capítulo
El ancla te dio el mapa conceptual: directa es recta por el origen, inversa es producto constante. Aquí vas a entrenar el músculo: doce tipos de problema que aparecen en todo el semestre, resueltos con un método fijo: clasifica (¿directa, inversa, ni una ni otra?), plantilla (igualá razones o productos), resuelve y verifica que el resultado tenga sentido.
Regla de tres con sentido común
La regla de tres es una proporción con un hueco, no un conjuro. Funciona SIEMPRE que la relación sea directa: más kilos, más pesos; más kilómetros recorridos, más gasolina. El error típico es aplicarla donde la relación es inversa: si 5 obreros terminan una obra en 8 días, no puedes escribir "6 × 8 ÷ 5" para calcular con 6 obreros: eso daría 9.6 días, y es absurdo que con MÁS gente se tarde MÁS. Ahí va producto constante: 5 × 8 = 40 jornal-días de obra; con 6 obreros: 40 ÷ 6 ≈ 6.7 días, ahora sí menos que 8.
Si 3 impresoras imprimen 240 páginas en 2 horas, ¿cuántas imprimen 5 impresoras iguales en el mismo tiempo?
En una proporcionalidad inversa x·y = k, si x se triplica, y se reduce a la tercera parte.
Repartos proporcionales: repartir según mérito
Dos socios invierten $40,000 y $60,000 y ganan $25,000. Repartir "a medias" es injusto: la ganancia debe seguir la razón de las aportaciones (4:6 = 2:3). Se suma la razón (2+3 = 5 partes), se divide la ganancia entre las partes ($5,000 por parte) y cada quien recibe su número de partes: $10,000 y $15,000. Verificación: la razón de lo recibido (10:15) debe igualar la razón invertida (40:60).
Une cada reparto con la cantidad que le toca a la segunda parte.
Sucesiones: proporcionalidad en puntos aislados
Una sucesión es una lista ordenada de términos; es "proporcionalidad discreta" cuando el crecimiento entre términos es constante. Esa constante es la razón de una progresión aritmética, y su término general es lineal: aₙ = a₁ + (n−1)d. Ejemplo: 4, 7, 10, 13... con d = 3: a₅₀ = 4 + 49·3 = 151. Adivinar el término 100 sin fórmula sería absurdo: la fórmula es la regla de tres de las sucesiones.
En la progresión 5, 9, 13, 17... la diferencia es d = , y su término general es aₙ = 5 + (n−1)·. Escribe: 4, 4
Cuando NO es proporcional (y parece)
Edad y estatura crecen juntas pero no a razón constante. La tarifa de luz tiene un cargo fijo: y = kx + b no pasa por el origen, así que el doble de consumo NO cuesta el doble. Y una receta que dice "por cada 2 huevos, 100 g de harina" sí es proporcional mientras no toques el mínimo del horno. Clasificar bien evita el error más caro: aplicar regla de tres a relaciones con constante sumada.
Clasifica cada relación.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Caja de herramientas
- Proporcionalidad
- Directa
- razón constante
- reducción a la unidad
- Inversa
- producto constante
- jornal-días
- Repartos
- partes de la razón
- verificar proporción
- Sucesiones
- diferencia d
- término general
- Directa
Busca en tu casa un recibo (luz, teléfono, internet✦). Identifica el cargo fijo y la parte proporcional. ¿Duplicar el consumo duplica el pago? Explica con la fórmula y = kx + b.
Si b ≠ 0, el costo nunca es proporcional: el doble de consumo cuesta menos del doble.
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