Una familia de numeros
Los numeros que usamos cada día forman familias anidadas: los naturales (1, 2, 3...) sirven para contar; al agregar el cero y los negativos nacen los enteros; las divisiones entre enteros llenan los racionales; y los que no pueden escribirse como fracción -como raíz de 2 o pi- son irracionales. Juntos, racionales e irracionales forman los reales, que llenan por completo la recta numerica sin dejar huecos.
Familias numericas
- Reales
- Racionales
- Enteros
- Naturales
- Fracciones y decimales periodicos
- Irracionales
- Raíces no exactas
- pi y e
- Decimales no periodicos
- Racionales
| Conjunto | Ejemplos | ¿Tiene negativos? | ¿Tiene fracciones? |
|---|---|---|---|
| Naturales | 3, 7, 100 | No | No |
| Enteros | -4, 0, 5 | Si | No |
| Racionales | 2/3, -0.75 | Si | Si |
| Irracionales | raíz de 2, pi | Si | No (no son fracción) |
Propiedades que simplifican el calculo
Las operaciones gozan de propiedades que permiten reordenar y agrupar sin cambiar el resultado: la conmutativa (a + b = b + a), la asociativa ((a + b) + c = a + (b + c)), la distributiva del producto sobre la suma (a por (b + c) = a por b + a por c), y la existencia de elementos neutros (0 para sumar, 1 para multiplicar) e inversos (el opuesto para sumar, el reciproco para multiplicar). Reconocerlas convierte calculos largos en manejos mentales rapidos.
Al calcular 7 por 46 como 7 por 40 mas 7 por 6 estas aplicando principalmente la propiedad...
Irracionales: numeros que no caben en una fracción
No todo decimal puede escribirse como fracción. Los decimales periodicos (0.333... = 1/3) si son racionales, pero los decimales no periodicos e infinitos -como raíz de 2 = 1.41421356... o pi = 3.14159...- nunca se repiten y nunca terminan: son irracionales. La prueba clasica muestra que no existen enteros a y b tales que a/b = raíz de 2, lo que historicamente sorprendio a los pitagoricos.
Todo número con infinitas cifras decimales es irracional.
Notación cientifica y magnitudes
Cuando las cantidades son enormes o diminutas, escribir todos los ceros es incomodo y fuente de errores. La notación cientifica las expresa como un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10: la velocidad de la luz es 3.0 x 10^8 m/s, el radio de un átomo ronda 1.0 x 10^-10 m. Comparar potencias de 10 permite estimar ordenes de magnitud y decidir rapidamente que cantidad domina una situación.
| Cantidad | Notacion cientifica | Orden de magnitud |
|---|---|---|
| Población mundial | 8.0 x 10^9 | miles de millones |
| Velocidad de la luz | 3.0 x 10^8 m/s | cientos de millones |
| Radio de un átomo | 1.0 x 10^-10 m | mil millonésimas de metro |
| Bytes de un disco | 5.0 x 10^11 | centenas de miles de millones |
¿Cuantas veces es 4.5 x 10^8 mas grande que 9.0 x 10^7?
Escribe en notación cientifica 3 400 000 = x 10^ . Al mover el punto seis lugares queda 3.4 por diez a la seis.
Estimar y acotar el error
En la vida real raras veces necesitas el valor exacto: estimar con redondeos y controlar el error acumulado es mas útil. Si mides el lado de un terreno como 12.5 m con un error de mas o menos 0.1 m, el área estimada 156.25 m^2 puede variar unas decimas. Aprender a estimar y a expresar incertidumbre te hace critico con los resultados calculados y evita dar falsas precisiones.
Un resultado te da 247.833 m^2 para un cuarto que mediste con cinta. ¿Tiene sentido reportar tantas cifras? ¿Como lo redondearias y por que? Argumenta tu decisión.
La precisión del dato de entrada limita la precisión honesta del resultado.
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