Cálculo integral II

✦ Estudio de la integral definida como area bajo la curva, el Teorema Fundamental del Calculo (conexion entre derivada e integral), y las propiedades de la integral definida en tercero de preparatoria

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Firmado y verificado · Fernando Castro

Objetivo: Comprender el concepto de integral definida y el Teorema Fundamental del Calculo.

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Sobre este contenido

Firmado y verificado Fernando Castro

Lo que aprendesComprender el concepto de integral definida y el Teorema Fundamental del Calculo.

Datos8 min · Español

Temas #integral definida #area bajo curva #Teorema Fundamental #limites de integracion #antiderivada #suma de Riemann #propiedades #funcion continua

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Integral definida: el area bajo la curva

La integral definida calcula el area bajo la curva de f(x) entre dos puntos a y b. Se escribe integral de a a b de f(x) dx. Geometricamente: es el area de la region entre la grafica de f(x) y el eje x, desde x=a hasta x=b. Si f(x) esta por debajo del eje, el area cuenta negativa.

El Teorema Fundamental del Calculo (TFC) conecta la derivada con la integral: si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces integral de a a b de f(x) dx = F(b) - F(a). Esto significa que para calcular el area bajo la curva, no necesitamos sumar infinitos rectangulos (suma de Riemann): basta con encontrar la antiderivada y evaluar en los limites. Las propiedades de la integral definida: integral de a a a = 0, integral de a a b = -integral de b a a, integral de a a b + integral de b a c = integral de a a c. El TFC es el puente entre el calculo diferencial y el integral.

Concepto	Definicion	Ejemplo
Integral definida	Area bajo f(x) de a a b	integral de 0 a 1 de x^2 dx = 1/3
TFC	F(b) - F(a) donde F'=f	integral de 0 a 2 de 2x dx = 4-0 = 4
Propiedad de linealidad	integral de (f+g) = integral de f + integral de g	integral de 0 a 1 de (x+1) dx = 1/2+1 = 3/2
Cambio de limites	integral de a a b = -integral de b a a	integral de 1 a 0 de x dx = -integral de 0 a 1 de x dx

El Teorema Fundamental del Calculo establece que:

Relaciona cada concepto con su definicion:

Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.

La definida calcula el bajo la curva de f(x) entre a y b. El Fundamental del (TFC) conecta derivada e integral: integral de a a b de f(x) dx = F(b) - donde F'=f. Las de la integral: integral de a a a = 0, integral de a a b = -integral de b a a.

Piensa en la integral definida como el area bajo tu curva de rendimiento escolar: cada dia tienes un valor (calificacion, esfuerzo, aprendizaje). La integral de todo el semestre es el area total: tu aprendizaje acumulado. Si un dia fue malo (f<0), resta. Si fue bueno (f>0), suma. El TFC te dice: no necesitas sumar dia por dia, basta con ver el inicio y el final. Eso es el poder del calculo.

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