Lógica proposicional en acción: conectivos, tablas de verdad y equivalencias

Cómo leer este capítulo

En el ancla aprendiste que una proposición es un enunciado con valor de verdad y que un contraejemplo basta para derribar una afirmación. Este capítulo desarrolla la herramienta que te permite decidir el valor de verdad de CUALQUIER proposición compuesta sin intuición: la tabla de verdad. Verás cómo armarla fila por fila, qué hacer cuando hay tres conectivos encadenados y qué parejas de fórmulas dicen exactamente lo mismo aunque se escriban distinto.

Anatomía de una tabla de verdad

Una tabla de verdad agota los casos: para n variables distintas hay 2^n combinaciones de valores, así que la tabla tendrá 2^n filas. Con dos variables son 4 filas; con tres, 8. El orden profesional para llenarlas: primero enumeras todas las combinaciones de p, q, r (escribiendo p alternando bloques grandes, q bloques medianos y r alternando de uno en uno), luego calculas los paréntesis internos, y por último el conectivo principal.

Ejemplo guiado con (p y no q) => r. Fila 1: p=V, q=V, r=V. Entonces no q=F, la conjunción (p y no q)=F, y un condicional con antecedente falso es V. Fila 4: p=V, q=F, r=F: no q=V, la conjunción=V, y V=>F da F: esta fila es el único tipo de contraejemplo para la fórmula. Un solo F ya impide que sea tautología.

Tautologías, contradicciones y contingencias

Cuando la columna del conectivo principal sale toda V, la fórmula es una tautología: es verdadera por su forma, pase lo que pase. El ejemplo canónico es "p o no p": o llueve o no llueve, no hay tercera opción. Si sale toda F es una contradicción ("p y no p"). Cualquier mezcla es una contingencia, que depende de los valores. Las tautologías son las leyes que puedes citar en una demostración sin comprobar el contenido.

Equivalencias: fórmulas distintas, misma tabla

Dos fórmulas son lógicamente equivalentes cuando sus columnas principales coinciden fila por fila. La más importante para demostraciones: un condicional "p => q" es equivalente a su contrapositiva "no q => no p". Por eso, para probar "si n^2 es par entonces n es par", puedes probar en su lugar "si n es impar entonces n^2 es impar": trabajas con información más útil.