Sistemas 2x2: dos rectas, un punto y tres métodos

Qué vas a aprender

Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones: cada punto de una recta. Pero dos ecuaciones juntas suelen tener una sola: el punto donde las dos rectas se cruzan. Resolver un sistema es encontrar ese punto, y hay tres caminos algebraicos para llegar a él. Elegir el correcto ahorra la mitad del trabajo.

1. Qué es la solución de un sistema

Un sistema 2x2 son dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, por ejemplo x + y = 9 y 2x - y = 6. Su solución es un par ordenado (x, y) que satisface ambas ecuaciones al mismo tiempo. Esa exigencia simultánea es lo que lo distingue de una ecuación suelta: un par que cumple una pero no la otra no es solución del sistema, y por eso la verificación siempre se hace en las dos ecuaciones.

3. Método 1: sustitución

Sirve cuando una de las ecuaciones ya deja despejada una incógnita o es fácil despejarla. Sistema: x + y = 9 y 2x - y = 6.
Paso 1, despejo de la primera: y = 9 - x.
Paso 2, sustituyo esa expresión en la otra ecuación: 2x - (9 - x) = 6. Cuidado con el paréntesis: el menos se reparte.
Paso 3, resuelvo: 2x - 9 + x = 6, o sea 3x = 15, entonces x = 5.
Paso 4, regreso por y: y = 9 - 5 = 4.
Verificación en la primera: 5 + 4 = 9; en la segunda: 2(5) - 4 = 10 - 4 = 6. Las dos coinciden, así que el par (5, 4) es la solución.

4. Método 2: reducción o eliminación

Conviene cuando los coeficientes de una incógnita son iguales o opuestos, porque al sumar las ecuaciones esa incógnita desaparece. Sistema: x + y = 9 y 2x - y = 6. Los coeficientes de y son +1 y -1, así que sumo verticalmente:
(x + 2x) + (y - y) = (9 + 6), o sea 3x = 15, x = 5.
Después sustituyo en cualquiera de las dos para obtener y = 4. Mismo resultado, menos pasos: este sistema se resolvía solo por reducción.

Si los coeficientes no son opuestos, se multiplican ambas ecuaciones por números elegidos para volverlos opuestos. Por ejemplo en 3x + 2y = 16 y x - y = 2, multiplicando la segunda por 2 aparece 2x - 2y = 4, y al sumar con la primera se elimina y.

5. Método 3: igualación

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las dos expresiones resultantes. De x + y = 9 sale x = 9 - y; de 2x - y = 6 sale x = (6 + y)/2. Igualando: 9 - y = (6 + y)/2. Multiplico por 2: 18 - 2y = 6 + y, entonces 12 = 3y y y = 4, coincidiendo con los otros dos métodos. La igualación es la que da menos trabajo cuando ninguna incógnita tiene coeficiente 1.

6. Ejemplo con caso especial

Sistema sin solución. x + y = 5 y 2x + 2y = 13. Multiplico la primera por 2: 2x + 2y = 10. Reste la segunda: 0 = -3, una falsedad. Las rectas son paralelas (misma pendiente -1, distinta ordenada) y no se cruzan: el sistema no tiene solución.

Sistema con infinitas soluciones. x + y = 5 y 3x + 3y = 15. La segunda es la primera multiplicada por 3, así que describen la misma recta. Cualquier par con suma 5 sirve: (0,5), (2,3), (5,0). Se escribe la solución como la recta misma.

11. Práctica independiente

Antes de resolver cada reactivo decide dos cosas: qué incógnitas vas a usar y qué dos igualdades describen la situación. En problemas de conteo y de costo, el procedimiento es siempre plantear sistemas a partir de problemas verbales y luego elegir el método más corto.

12. Aplicación real

Los sistemas 2x2 modelan cualquier comparación entre dos opciones con costo fijo y costo variable. Dos proveedores de impresoras: A cobra 1 500 pesos fijos más 2 por página; B cobra 900 más 3.5 por página. Igualando los costos totales, 1500 + 2q = 900 + 3.5q, se obtiene 600 = 1.5q y q = 400 páginas: el punto de equilibrio. Por debajo de 400 páginas conviene B; por encima, A. Ese número no es una respuesta de examen: es una decisión de compra, y es exactamente la intersección de dos rectas.

El punto de equilibrio es exactamente la solución del sistema: las dos rectas se cortan donde los costos son iguales. Si restas las dos expresiones obtienes 600 - 1.5q, que vale cero justo en q = 400 y cambia de signo ahí. Por eso antes de 400 páginas conviene el proveedor con costo fijo bajo y costo variable alto, y después conviene el de costo fijo alto y costo variable bajo. Observa que sumar o restar las dos ecuaciones miembro a miembro conserva el mismo sistema, así que esa resta no es un truco: es una operación legítima sobre igualdades, y por eso conviene verificar el par en las dos ecuaciones, porque un par puede satisfacer una y no la otra. Recuerda también que dos rectas con la misma pendiente y distinta ordenada al origen no se cruzan, así que el sistema correspondiente es incompatible.

14. Rúbrica de autoevaluación

Revisa tu último sistema con estos cinco criterios. La meta no es hallar un par cualquiera: es poder afirmar que ese par satisface las dos ecuaciones.