Modelar: del problema escrito a la ecuación y de vuelta

Qué vas a aprender

Resolver una ecuación ya la sabes. Lo que separa a un estudiante de bachillerato de uno de secundaria es el paso anterior: fabricar la ecuación a partir de una situación descrita en palabras, y el paso posterior: decir si la respuesta sirve. Ese recorrido completo es modelar, y es la competencia que el currículo pone como cierre del semestre.

1. El ciclo de la modelación en cinco fases

Fase 1, leer y seleccionar datos: qué se sabe, qué se pide, qué sobra. Fase 2, definir variables con nombre y unidad: no x, sino x = litros de solución, con su dominio. Fase 3, traducir: convertir cada frase del problema en una igualdad o expresión. Fase 4, resolver con el aparato algebraico. Fase 5, interpretar y validar: responder en el lenguaje del problema y preguntar si el número tiene sentido. La mayoría de los errores en exámenes no están en la fase 4 sino en la 3 y la 5.

2. Elegir la variable y fijar su dominio

Una regla práctica: si el problema pregunta por una cantidad, esa es tu variable; si pregunta por dos relacionadas, toma como variable la más pequeña y expresa la otra en términos de ella. En un problema de números, si se piden dos números cuya suma es 30, define x y 30 - x: una sola variable en lugar de dos. Después escribe el dominio: número de personas son enteros no negativos, tiempo es mayor o igual que cero, precio es positivo. El dominio es lo que te permite rechazar la solución x = -12 que la álgebra te devolvió con toda legitimidad.

4. Ejemplos completos

Ejemplo 1 · Costo. Un taller de robótica cobra 450 pesos por el kit y 35 por cada hora de laboratorio. ¿Cuántas horas se pueden pagar con 1 500 pesos?
Defino h = horas, con h entero no negativo. Modelo: 450 + 35h ≤ 1500. Resolviendo la igualdad: 35h = 1050, h = 30. Validación: con 30 horas el costo es exactamente 1 500, así que la respuesta es 30 horas; con 31 se excede el presupuesto.

Ejemplo 2 · Encuentro. Dos ciudades están a 240 km. Un autobús sale de A hacia B a 60 km/h y simultáneamente una camioneta sale de B hacia A a 40 km/h. ¿Cuándo se encuentran? Si t son las horas hasta el encuentro, las distancias recoridas suman el total: 60t + 40t = 240, o sea 100t = 240 y t = 2.4 horas, es decir 2 horas 24 minutos. Validación: el autobús recorrió 144 km y la camioneta 96; 144 + 96 = 240.

Ejemplo 3 · Mezcla. Se necesitan 30 litros de anticongelante al 40 por ciento y se dispone de uno al 20 y otro al 60. Con x litros del de 20 y y del de 60: x + y = 30 y 0.2x + 0.6y = 0.4(30) = 12. De la primera, x = 30 - y; sustituyendo: 0.2(30 - y) + 0.6y = 12, o sea 6 + 0.4y = 12, y = 15 y x = 15. Validación: 3 + 9 = 12 litros de concentrado sobre 30, exactamente 40 por ciento.

5. Interpolación y extrapolación

Con un modelo lineal puedes estimar dentro del rango de datos observados, lo que se llama interpolación, y fuera de él, que es extrapolación. La primera es razonablemente confiable; la segunda es peligrosa, porque asume que la misma tendencia continúa donde no hay evidencia. Si una ciudad tenía 40 000 habitantes en 2010 y 52 000 en 2020, el modelo lineal da 1 200 habitantes por año y predice 64 000 para 2030: aritméticamente impecable y potencialmente falso, porque el crecimiento real rara vez es lineal a largo plazo. Reportar la predicción sin esa advertencia es un error de interpretación, no de cálculo.

La simulación muestra por qué la fase 5 no es un adorno: el modelo es correcto en las cuatro primeras líneas y deja de servir en la quinta, porque el presupuesto es un límite y no una cantidad a alcanzar. Antes de operar, define la variable con nombre y unidad, escribe el dominio antes de operar y, al terminar, valida la respuesta sustituyéndola en el enunciado original, no en tu ecuación. Y cuando uses el modelo para estimar, distingue: una predicción dentro del rango observado es una interpolación, mientras que fuera de él es una extrapolación, y asume que la tendencia continúa sin evidencia.

8. Práctica guiada

Antes de resolver, revisa el orden de la traducción. En español, «5 menos el triple de un número» se escribe 5 - 3x, no 3x - 5; en cambio «el triple de un número disminuido en 5» sí es 3x - 5. La frase manda, no la costumbre. Los dos ejercicios siguientes ponen a prueba ese orden y la identificación del término fijo.

11. Aplicación real

La modelación lineal es la herramienta estándar de cualquier decisión de presupuesto: punto de equilibrio, capacidad instalada, costo por hora de un servicio, proyección de matrícula. En todos los casos el procedimiento es idéntico al de este objeto: definir la variable con su unidad, escribir C = mx + b, resolver y sobre todo validar. Un modelo que predice 2.7 empleados no está mal resuelto: está mal interpretado.

13. Rúbrica de autoevaluación

Aplica la rúbrica al último problema que hayas modelado. El nivel destacado no se gana despejando rápido, sino declarando el dominio y validando el resultado.