Sumar, restar y multiplicar expresiones: qué se puede combinar y por qué

Qué vas a aprender

Ya sabes nombrar las piezas de una expresión. Aquí vas a operar con ellas, y la única pregunta que decide cada paso es si las piezas son del mismo tipo. Sumar lo que no se puede sumar es el error que más puntos cuesta en el semestre; multiplicar mal un signo es el segundo.

1. Activación: dos cuentas que parecen iguales

Sin consultar nada, resuelve y compara: a) 5x + 3x, b) 5x² + 3x², c) 5x · 3x, d) (5x)². Si en c) contestaste 15x y en d) 15x², revisa la sección 5: estás mezclando la suma de términos con la multiplicación de factores, que obedecen reglas distintas.

2. Reducir términos semejantes

Reducir es juntar en un solo término los sumandos que tienen la misma parte literal con los mismos exponentes. Se suman los coeficientes y la parte literal se copia igual: 7x² - 3x² + x² = 5x², porque el coeficiente de x² suelto es 1. Lo que no es semejante se queda escrito tal cual: 4x² + 2x - 3x² + 5x + 1 se reduce a x² + 7x + 1, sin que los tres bloques se toquen entre sí.

Una forma infalible de reducir sin perder términos es subrayar con colores: un color para cada parte literal. Al terminar, cada color debe aparecer en un solo término o en ninguno.

3. Sumar y restar polinomios

Sumar dos polinomios es escribir todos sus términos juntos y reducir. Restarlos es, primero, cambiar el signo de cada término del polinomio que se resta y luego reducir. Ese es el paso que se omite: el signo menos no se aplica solo al primer término, se reparte sobre todos.

4. Multiplicar: propiedad distributiva

Multiplicar un monomio por un polinomio es repartir el monomio a cada término: 2x(3x² - 5x + 4) = 6x³ - 10x² + 8x. Multiplicar dos binomios es repartir cada término del primero entre todos los del segundo, cuatro productos en total, y luego reducir: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Ningún término se puede salvar: si multiplicas solo los primeros y solo los segundos obtienes x² + 6, y eso no es lo mismo.

Esta comprobación tiene un nombre: verificar una identidad dando valores. Sirve dos veces. Si tus dos columnas no coinciden en x = 2, tu desarrollo está mal. Si coinciden en tres valores distintos, es casi seguro que la identidad es correcta, porque una expresión de grado dos queda determinada por tres puntos. La verificación numérica es la red de seguridad de quien todavía no confía en su álgebra, y conviene usarla siempre en los exámenes.

La confusión más cara del tema: x² + x² es 2x², mientras que x² · x² es x⁴. Al sumar, la parte literal se conserva y se suman coeficientes; al multiplicar, se suman exponentes. Y (5x)² es 25x², no 5x²: el exponente alcanza al coeficiente porque el paréntesis encierra todo el producto. Compara siempre con números: (5 · 3)² = 15² = 225, y 25 · 3² = 25 · 9 = 225; 5 · 3² sería 45, un valor distinto.

6. Ejemplos paso a paso

Ejemplo 1. Reduce 4x² + 2x - 3x² + 5x + 1. Pares semejantes: 4x² - 3x² = x²; 2x + 5x = 7x; la constante 1 queda sola. Resultado: x² + 7x + 1.

Ejemplo 2. Resta (2a + 3b) - (2a - 3b). Reparte el signo: 2a + 3b - 2a + 3b. Se van las a y quedan 6b. Verifica con a = 4, b = 2: (8 + 6) - (8 - 6) = 14 - 2 = 12, y 6b = 12. Coincide.

Ejemplo 3. Multiplica 2x(3x² - 5x + 4). Tres productos: 2x · 3x² = 6x³, 2x · (-5x) = -10x², 2x · 4 = 8x. Resultado: 6x³ - 10x² + 8x.

Ejemplo 4. Multiplica (2x - 3)(x + 4). Reparte: 2x · x = 2x², 2x · 4 = 8x, -3 · x = -3x, -3 · 4 = -12. Reduce: 2x² + 5x - 12. Con x = 2: (1)(6) = 6 y 8 + 10 - 12 = 6. Cuadra.

Ejemplo 5. Multiplica (-3a²b)(4ab³). Coeficientes: -3 · 4 = -12. Letras: a² · a = a³ y b · b³ = b⁴. Resultado: -12a³b⁴, grado total 7.

Ejemplo 6. Simplifica (2x³)³ / x⁴. Primero la potencia: 2³ = 8 y (x³)³ = x⁹, así que 8x⁹ / x⁴ = 8x⁵. Verifica con x = 2: (2 · 8)³ / 16 = 16³ / 16 = 4096 / 16 = 256, y 8 · 2⁵ = 8 · 32 = 256.

Ejemplo 7. Área de un rectángulo de lados (2x + 1) y (x + 3). Producto: 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3. Con x = 2: 5 · 5 = 25 y 8 + 14 + 3 = 25. Con x = 1: 3 · 4 = 12 y 2 + 7 + 3 = 12.

Ejemplo 8. Perímetro de un rectángulo cuyos lados son (3x + 2) y (x + 5): P = 2[(3x + 2) + (x + 5)] = 2(4x + 7) = 8x + 14. Nótese que primero se suma dentro del corchete y solo después se multiplica por 2.

6b. Simulación con figuras: mover x y leer dos expresiones

Una simulación algebraica no necesita app: se hace eligiendo valores para la incógnita y calculando dos expresiones con cada valor. Aquí usarás dos figuras. El rectángulo tiene base x + 4 y altura 3, así que su perímetro vale 2(x + 4) + 2(3), que reducido es 2x + 14, y su área vale 3(x + 4), es decir 3x + 12. El cuadrado tiene lado x, con perímetro 4x y área x². Llena las tablas, y solo después mira el cuadro de conclusiones. Deben quedarte claras dos cosas: que la simulación muestra cómo cambia el valor de una expresión cuando la incógnita crece, y por qué una expresión lineal y una expresión cuadrada no crecen igual.

8. Video explicativo: guion y storyboard

Pieza: video explicativo de producción propia. Título: 'Lo que se puede juntar y lo que no'. Objetivo: mostrar con áreas por qué x² y x no se suman y por qué (x + 2)(x + 3) produce cuatro productos. Duración objetivo: cinco minutos. Formato: animación de figuras y pizarrón con voz en off. Elementos visuales: cuadro x², rectángulos x, tabla de multiplicar de dos por dos, sustitución numérica en pantalla. Relación con el OA: cubre las secciones 2, 3 y 4 y se recomienda verlo antes de los reactivos.

9. Práctica guiada

Escribe tu respuesta antes de destapar la línea de apoyo. Verifica numéricamente los dos últimos incisos con x = 3.

10. Actividades interactivas

Ficha de apoyo: al sumar términos semejantes se suman los coeficientes y la parte literal se conserva; al restar un polinomio, el signo menos se reparte sobre todos sus términos; la propiedad distributiva reparte cada término del primero entre todos los del segundo; en el producto de misma base se suman exponentes; en una potencia de potencia se multiplican; el grado de un término es la suma de los exponentes de su parte literal; y una identidad se verifica dando valores a la variable y comparando los dos lados.

12. Aplicación real

Operar con expresiones aparece cada vez que combinas dos reglas de costo. Si un servicio cobra 25 más 12 por hora y otro cobra 40 más 9 por hora, el primero es 25 + 12h y el segundo 40 + 9h; su diferencia es (25 + 12h) - (40 + 9h) = 3h - 15, que cambia de signo en h = 5. Con menos de cinco horas conviene el primero; con más, el segundo. Esa sola resta de polinomios resuelve una decisión de gasto real, y es exactamente el tipo de planteo que pide la unidad.

15. Fuentes y trazabilidad

Marco curricular: programa de estudios para la educación media superior, SEP/DGB, Nueva Escuela Mexicana, ciclo escolar vigente; campo de desarrollo pensamental, componente Pensamiento Matemático, semestre 2. Contenido formativo de referencia: operaciones con expresiones algebraicas en el marco de la introducción al álgebra. Objeto anterior: Monomios y polinomios. Objeto siguiente: Evaluación integradora de la Unidad 1. Autor del contenido: Roadwise Consulting para Lumbre, 2026. Nota: el contenido es original; los desarrollos, verificaciones y valores de las tablas se recalcularon uno por uno para esta versión.

OA anterior: Variables y lenguaje algebraico, y Monomios y polinomios. OA siguiente: Evaluación integradora de la Unidad 1. Refuerzo: si fallaste los dos reactivos de resta de polinomios, vuelve a la sección 3 con una hoja en blanco antes de continuar.