Optimizar con dos variables y planear tu dinero
PARTE A · Optimizar: programación lineal con dos variables
1. Qué significa optimizar
Optimizar es sacar el mayor (ganancia, utilidad) o el menor (costo, tiempo) valor posible dadas ciertas limitaciones. En programación lineal con dos incógnitas —digamos x y y— la meta se escribe como una función objetivo lineal, por ejemplo P = 5x + 8y, y las limitaciones son desigualdades lineales (recursos: horas, dinero, materia prima). El conjunto de puntos que cumplen todas las desigualdades a la vez se llama región factible; fuera de ella, las soluciones no son posibles porque violan algún recurso.
2. El teorema fundamental (por qué bastan los vértices)
El teorema fundamental de la programación lineal dice que una función objetivo lineal alcanza su máximo o su mínimo en un vértice (una esquina) de la región factible, o a lo largo de un borde si hay empate. La intuición geométrica: la recta P = 5x + 8y, cuando varies P, son rectas paralelas (todas con la misma pendiente). Aldeslizar esa recta paralela hacia valores mayores, el último punto de la región factible que toca antes de salirse es siempre una esquina. Por eso no hay que probar infinitos puntos: basta evaluar la función objetivo en los vértices y elegir el mejor. Los vértices salen de intersecar las rectas borde, lo que se resuelve con un sistema de dos ecuaciones lineales.
3. Método en cinco pasos
- Define las variables x y y y sus unidades (qué producciones, cuántas).
- Traduce cada limitación a una desigualdad lineal (y añade x mayor o igual que 0, y mayor o igual que 0).
- Grafica las rectas borde y sombrea la región que satisface todas.
- Calcula los vértices resolviendo los sistemas 2x2 de las rectas que se cruzan.
- Evalúa la función objetivo en cada vértice y elige el máximo o mínimo; responde al problema.
4. Ejemplo resuelto (situación propia)
Una alumna prepara sándwiches (x) y postres (y) para vender. Cada sándwich le deja $5 y cada postre $8. En una semana dispone como máximo de 60 minutos de horno: un sándwich usa 1 minuto y un postre 2 minutos, así que x + 2y ≤ 60. Además el gasto en ingredientes es a lo sumo $150 y ambos productos cuestan $3 por unidad: 3x + 3y ≤ 150, o simplificado x + y ≤ 50. Nada se produce en cantidad negativa: x y y son mayores o iguales que 0. ¿Cuántos de cada uno para ganar máximo?
| Vértice (x, y) | Ganancia P = 5x + 8y | Notas |
|---|---|---|
| (0, 0) | 0 | no produce nada |
| (50, 0) | 250 | sólo sándwiches (límite x+y=50) |
| (0, 30) | 240 | sólo postres (límite x+2y=60) |
| (40, 10) | 280 | intersección de las dos rectas borde |
El vértice (40, 10) se obtiene resolviendo el sistema x + 2y = 60 y x + y = 50. Restando la segunda de la primera: y = 10; sustituyendo: x = 40. En ese punto la ganancia es 5·40 + 8·10 = 200 + 80 = $280, mayor que en cualquier otro vértice. Conclusión: producir 40 sándwiches y 10 postres da la ganancia máxima semanal.
Según la tabla, ¿cuál combinación maximiza la ganancia?
Basta evaluar la función objetivo en los vértices de la región factible para encontrar el óptimo.
Si la función objetivo resulta paralela a uno de los bordes de la región, ¿qué ocurre?
PARTE B · Matemática financiera para tu proyecto de vida
Un proyecto de vida (terminar la prepa, una carrera, un viaje, ayudar en casa) casi siempre necesita planeación financiera: juntar dinero, decidir si conviene endeudarse y entender cuánto costará de verdad. Hablar de esto con respeto y cuidado de la parte emocional —porque el dinero toca la autoestima y la familia— es parte de la competencia. Las dos piezas matemáticas básicas son el interés simple y el interés compuesto.
5. Interés simple: solo sobre el capital inicial
En el interés simple el pago se calcula únicamente sobre el capital que pusiste al inicio. La fórmula es I = C · r · t, donde C es el capital, r la tasa por periodo y t el número de periodos. El monto final es M = C + I. Ejemplo: guardas $5,000 a una tasa simple del 2% mensual durante 6 meses. I = 5,000 · 0.02 · 6 = $600, así que terminas con $5,600. El crecimiento es lineal: cada mes ganas los mismos $100.
6. Interés compuesto: los intereses generan intereses
En el interés compuesto lo que ganas se suma al capital y en el siguiente periodo los intereses se calculan sobre ese monto ya crecido; a esto se le llama capitalización. La fórmula es M = C · (1 + r)^t. Con el mismo capital: M = 5,000 · (1.02)^6. Ahora (1.02)^6 ≈ 1.1262, así que M ≈ $5,631 (unas $31 de más frente al simple). Esa pequeña diferencia explota con el tiempo y con la tasa: a 30 años, el compuesto casi duplica al simple. Por eso el interés compuesto trabaja a tu favor cuando ahorras, pero en tu contra cuando te endeudas con tarjetas.
| Concepto | Fórmula | En el ejemplo ($5,000 al 2% mensual, 6 meses) |
|---|---|---|
| Interés simple | I = C · r · t | I = 600; monto 5,600 |
| Interés compuesto | M = C · (1 + r) elevado a t | M ≈ 5,631 |
| Crecimiento | simple lineal, compuesto exponencial | la brecha aumenta con t |
| Uso inteligente | ahorro al compuesto; deuda cara evita el compuesto | mismo dinero, distinto destino |
Sobre $10,000 a una tasa del 10% anual durante 2 años, ¿cuánto rinde el interés compuesto?
A igual capital, tasa y tiempo, el interés compuesto siempre da menos que el simple.
Une cada término con su definición.
Elige una meta real de tu proyecto de vida y estima su costo. Planea cómo juntar: si ahorras ese capital en un producto que paga cierta tasa, decide si convendría mejor una opción de interés simple o compuesto y por qué. Cierra con una frase sobre el riesgo de endeudarte con una tarjeta que capitaliza intereses.
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
En resumen. Para optimizar con dos variables: define función objetivo y restricciones, dibuja la región factible, halla los vértices con sistemas 2x2 y evalúa en ellos — el teorema fundamental garantiza que el óptimo está en una esquina (o en un borde por empate). Para tu proyecto de vida: el interés simple crece linealmente (I = C·r·t) y el compuesto crece exponencialmente (M = C·(1+r) a la t) porque capitaliza. Cubre P14 (optimización) y P08 (proyecto de vida financiero).
Compuerta de dominio: Optimizar con dos variables y planear tu dinero
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