Del número a la letra: variables, coeficientes y traducción al álgebra

Qué vas a aprender

Este objeto no trata de 'la letra x'. Trata de lo que ocurre cuando decides escribir una regla general en lugar de un cálculo particular. Esa decisión es el álgebra, y casi todo lo que viene en el semestre depende de que te resulte cómoda.

1. Activación: tres preguntas antes de leer

Responde en una libreta, sin buscar todavía la definición. Tus respuestas de ahora van a servir para comparar al final del objeto.

2. La idea que abre el álgebra

En aritmética siempre operas con números conocidos. En álgebra aparece un símbolo que representa un valor que todavía no conoces, o que puede ser cualquiera de una familia de valores, y que se comporta exactamente como un número: a esa letra le llamamos variable. La palabra clave del párrafo anterior es 'cualquiera': cuando puedes escribir una regla que sirve para todos los números a la vez, has dejado de calcular y has empezado a generalizar.

Una constante es un valor fijo dentro de la situación que estudias: el 25 del costo fijo del autobús, el 12 de la tarifa por pasajero, el 2 del exponente de un cuadrado. No importa cuántos valores tome la variable, la constante no cambia. La diferencia, entonces, no está en el símbolo sino en el papel que juega: una letra puede ser variable en un problema y constante en otro si ese otro problema la considera fija.

3. Anatomía de un término: coeficiente, parte literal y signo

Un término algebraico es un producto de números y letras. En él se distinguen dos partes: el coeficiente, que es el factor numérico con su signo incluido, y la parte literal, que es el producto de las letras con sus exponentes. El grado de un término es la suma de los exponentes de su parte literal.

Dos detalles que parecen menores y no lo son. Primero, el signo pertenece al coeficiente: en la expresión 5x - 3y, el segundo término vale -3y, no 3y, porque al restar estás sumando un negativo. Segundo, una letra sin exponente visible tiene exponente 1, y un término sin parte literal tiene grado cero. Por eso -y es de primer grado y 100 es un monomio de grado cero.

4. Términos semejantes: cuándo dos cosas se pueden juntar

Dos términos son semejantes cuando tienen exactamente las mismas variables con los mismos exponentes, sin importar el coeficiente. 5x² y -2x² son semejantes; 5x² y 5x no lo son; 3ab y 3ba sí lo son, porque el orden de los factores no altera el producto. La razón de exigir identidad en la parte literal es física, no contable: x² representa una superficie y x una longitud, y sumarlas sería sumar metros con metros cuadrados.

5. Traducir del español al álgebra

Traducir es identificar qué operación pide cada palabra y en qué orden. La regla que más errores evita: el sustantivo o la cantidad que aparece primero en la frase suele ser lo último que se opera. 'El doble de la suma de un número y cinco' obliga a sumar antes de duplicar, y por eso se escribe 2(x + 5): los paréntesis existen para respetar el orden de las palabras.

6. Simulación: mover la variable y leer qué pasa

Evaluar no es un trámite: es la forma de ver crecer una expresión. Toma f(x) = 3x² - 2x + 1, el área del rectángulo A(x) = x(2x + 3) y su perímetro P(x) = 6x, y calcula las tres con los mismos valores antes de leer la tabla. Después observa: ¿cuál de las tres se acelera más al alejarte de cero y por qué?

Mira tres cosas de la tabla. P(x) crece de seis en seis: su cambio es constante porque x aparece a la primera potencia. f(x) y A(x) no: entre x = 2 y x = 3, f sube de 9 a 22 y A de 14 a 27, porque la variable está elevada al cuadrado y ese término manda cuando x se hace grande. Y la tabla da valores negativos de área y perímetro para x negativa: la expresión los produce, pero el contexto geométrico los rechaza. Ese es el primer ejemplo del semestre de que el dominio de una variable no lo decide el álgebra, lo decide el problema.

7. Evaluar con jerarquía y con signos

Evaluar es sustituir la variable por un número y operar. El procedimiento estable es siempre el mismo: escribe la expresión con paréntesis vacíos, sustituye cada letra por su valor dentro de paréntesis, respeta la jerarquía y solo entonces reducen las cuentas.

La segunda y la tercera fila son la misma pregunta con distinto paréntesis y dan resultados opuestos: -x² significa 'el negativo del cuadrado', porque la potencia se evalúa antes que el signo; (-x)² significa 'el cuadrado del negativo'. Con x = -2, el primero da -1 y el segundo da 7. Escribe los paréntesis al sustituir y ese error desaparece del semestre.

8. Ejemplos paso a paso

Ejemplo 1. Traducir una edad. La edad de Ana dentro de ocho años será 21. Con a como edad actual: a + 8 = 21, de modo que a = 13. Escribe siempre la unidad de lo que definiste: 'a = edad de Ana hoy, en años'.

Ejemplo 2. Perímetro generalizado. Un rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho. Ancho x, largo 2x, perímetro 2(x + 2x) = 2(3x) = 6x. Con x = 4 el perímetro es 24 unidades y el área es x · 2x = 2x² = 32 unidades cuadradas: la misma figura produce dos expresiones distintas porque miden cosas distintas.

Ejemplo 3. Costo con parte fija. Entrar a un estacionamiento cuesta 25 pesos y cada hora 12. El costo por h horas es C(h) = 25 + 12h. Para h = 1, 2, 3, 6: 37, 49, 61 y 97 pesos. Fíjate en que el 25 no se multiplica: es la constante que paga el solo hecho de entrar.

Ejemplo 4. Consecutivos. La suma de tres números consecutivos es 51. Con x, x + 1 y x + 2: 3x + 3 = 51, así que 3x = 48 y x = 16. Los números son 16, 17 y 18, y 16 + 17 + 18 = 51 cuadra. Siempre verifica sustituyendo en el enunciado, no en tu ecuación ya transformada.

Ejemplo 5. Números de dos cifras. Un número cuya decena es d y cuya unidad es u se escribe 10d + u, porque la cifra de la decena vale diez veces su dígito. El 47 es 10(4) + 7. Si al invertir sus cifras resulta 74, entonces 10u + d = 74, y resolviendo el par d = 4, u = 7 se confirma el número.

Ejemplo 6. Evaluar una fórmula con dos variables. El área de un trapecio es A = (B + b)h/2. Con B = 10, b = 4 y h = 6: A = (10 + 4)(6)/2 = (14)(6)/2 = 84/2 = 42. Cuando hay varias letras, sustituye todas antes de operar y no olvides que la fracción pide sumar primero dentro del paréntesis.

10. Video explicativo: guion y storyboard

Pieza: video explicativo de producción propia. Título: 'La letra que vale por todos'. Objetivo: que el espectador distinga los tres usos de una letra y traduzca dos enunciados con orden invertido. Duración objetivo: cuatro minutos. Formato: animación de pizarrón con voz en off. Elementos visuales: casillero vacío, dos rectángulos de áreas distintas, tabla de frases, calculadora en pantalla. Relación con el OA: sustituye la explicación de las secciones 2, 5 y 7 y se puede ver antes de resolver los reactivos.

11. Práctica guiada

Resuelve con la hoja doblada: primero escribe tu respuesta, después destapa la línea de apoyo. Las tres primeras traducciones se hacen en pareja; las dos últimas, solo.

12. Actividades interactivas

Ficha de apoyo para los reactivos: en un término, el número que multiplica a las letras con su signo se llama coeficiente; la parte de letras con sus exponentes es la parte literal; los términos se pueden juntar solo cuando tienen las mismas variables con los mismos exponentes; un término sin letras tiene grado cero; para traducir, respeta el orden de las palabras porque los paréntesis existen para respetar el orden de las palabras; al sustituir un valor negativo, escribe el número dentro de paréntesis, porque la potencia se evalúa antes que el signo menos; y al evaluar una expresión con varios términos, aplica la jerarquía de operaciones: potencias, luego multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas.

14. Aplicación real

El lenguaje algebraico está en cualquier decisión con una parte fija y una parte variable. Los planes de datos de un teléfono, el costo de un envío por kilo, la dosis de un medicamento por kilo de peso, el presupuesto de un evento con un costo de renta más un costo por invitado: todos son de la forma constante más coeficiente por variable. Traducir bien al enunciado te permite comparar dos ofertas antes de gastar, y esa es la utilidad práctica de este objeto.

17. Fuentes y trazabilidad

Marco curricular: programa de estudios para la educación media superior, SEP/DGB, Nueva Escuela Mexicana, ciclo escolar vigente; campo de desarrollo pensamental, componente Pensamiento Matemático, semestre 2, introducción al álgebra. Programa de referencia: Pensamiento Matemático II, metas de lenguaje algebraico y expresión de relaciones generales. Articulación: marcos conceptuales de las ciencias exactas aplicables al bachillerato general. Prerrequisito formal: Pensamiento Matemático I, unidades de números enteros, fracciones y potencias. Autor del contenido: Roadwise Consulting para Lumbre, 2026. Nota: ninguna fórmula de este objeto reproduce texto oficial protegido; los valores de las tablas y de los ejemplos se calcularon y verificaron para esta versión.

OA anterior: inicio de la Unidad 1. OA siguiente: Operaciones con expresiones algebraicas, donde vas a usar esta vocabulario para sumar, restar y multiplicar. Refuerzo: si fallaste dos o más reactivos de traducción, repite la sección 5 con la tabla tapada antes de continuar.