| Elemento | Dato |
|---|---|
| Categoría | Preparatoria |
| Nivel | 1.º de Preparatoria |
| Semestre | 2 |
| Materia | Pensamiento Matemático II |
| Área | Pensamiento Matemático |
| Unidad | Unidad 4. Relaciones, funciones y modelación |
| Tema / etapa | Plano cartesiano y gráficas |
| OA en la ruta | 1 de 4 |
| Dificultad | Inicial |
| Duración estimada | 18 minutos |
| Prerrequisito | pmat2-u3-ecuaciones-lineales y pmat2-u3-sistemas-dos-ecuaciones |
| Siguiente OA | pmat2-u4-funcion-lineal-y-pendiente |
| Edad referencial | 15 a 18 años |
| Plan de estudios | Plan de Estudios de la Bachillerato General SEP/DGB (vigente) |
| Autor | Roadwise Consulting |
Qué vas a aprender
Hasta ahora una ecuación era una frase para resolver. A partir de este objeto será una imagen que se puede leer. El plano cartesiano es el traductor: convierte parejas de números en posiciones y, al revés, convierte una figura en un sinnúmero de soluciones. Toda la unidad, y después el cálculo, se apoya en que sepas moverte en las dos direcciones.
1. La estructura del plano
Dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen dividen el plano en cuatro cuadrantes. La horizontal es el eje x o abscisas; la vertical es el eje y o ordenadas. Convención de signos: a la izquierda del origen x es negativo y por debajo del origen y es negativo. Cada punto del plano se nombra con un par ordenado: primero cuánto te mueves en x y después cuánto en y. La convención de que el orden importa no es arbitraria: viene de que la primera coordenada registra la variable que usualmente se controla, el tiempo o la cantidad, mientras que la segunda registra el resultado o efecto.
2. El par ordenado: dos puntos que no son el mismo punto
(3, 5) y (5, 3) son puntos distintos del plano: el primero está tres unidades a la derecha y cinco arriba; el segundo, cinco a la derecha y tres arriba. Esta es la idea que hace útil al plano para modelar: el par ordenado guarda la información de que x y y juegan papeles diferentes. Un sistema 2x2 del objeto anterior se resolvió en pares ordenados por la misma razón: el orden no es decoración, es significado.
3. Qué es la gráfica de una ecuación
La gráfica de una ecuación con dos variables es el conjunto de TODOS los pares que la hacen verdadera. Para y = 2x + 1 la tabla siguiente muestra seis de ellos, pero son infinitos: por eso al unirlos se traza una línea continua y no solo puntos. La línea es la afirmación completa; los puntos son muestras.
| x | Cálculo | y = 2x + 1 | Par ordenado |
|---|---|---|---|
| -2 | 2(-2) + 1 | -3 | (-2, -3) |
| -1 | 2(-1) + 1 | -1 | (-1, -1) |
| 0 | 2(0) + 1 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 2(1) + 1 | 3 | (1, 3) |
| 2 | 2(2) + 1 | 5 | (2, 5) |
| 3 | 2(3) + 1 | 7 | (3, 7) |
4. Tres maneras de trazar una recta
| Método | Cómo se hace | Cuándo conviene | Riesgo |
|---|---|---|---|
| Tabla de valores | Elige tres valores de x, calcula y y ubica los puntos | Cuando la ecuación viene sin formato | Elegir valores muy juntos y que el error de trazo se note poco |
| Interceptos | Haz x = 0 para hallar el corte con y; haz y = 0 para el corte con x | Cuando la ecuación está en forma general con números enteros | Que un intercepto sea fraccionario y el trazo sea impreciso |
| Pendiente y ordenada | Escribe y = mx + b, marca b y sube o baja según m | Siempre que puedas poner la ecuación en esa forma | Confundir el signo o el orden de la pendiente |
Ejemplo con interceptos: para 3x + 2y = 12. Si x = 0, entonces 2y = 12 y y = 6, así que la recta corta el eje vertical en (0, 6). Si y = 0, entonces 3x = 12 y x = 4, con corte en (4, 0). Dos puntos bastan para trazar la recta completa con regla.
5. Leer una gráfica: qué información está disponible
De una recta en el plano se extrae al menos cinco datos. Uno, los cortes con los ejes, que en un modelo son los valores iniciales o los puntos donde la cantidad se anula. Dos, si la recta sube o baja al avanzar hacia la derecha, es decir si la relación entre variables es creciente o decreciente. Tres, qué tan rápido sube, que se llama tasa de cambio y es el tema del siguiente objeto. Cuatro, el punto donde dos rectas se cruzan, que es la solución del sistema visto geométricamente. Cinco, dónde la gráfica está por encima o por debajo del eje x, que corresponde a resolver una desigualdad.
6. Errores frecuentes
Lo que se equivoca al graficar
- Invertir las coordenadas y poner (y, x) en lugar de (x, y).
- Usar solo dos puntos de la tabla y uno de ellos el origen, sin verificar el tercero.
- Marcar los cuadrantes negativos hacia abajo con signo equivocado: a la izquierda del origen x es negativo, abajo del origen y es negativo.
- Trazar una curva donde la ecuación es lineal, o una recta donde no lo es.
- Olvidar que en un problema contextual la gráfica puede empezar en x = 0 y no extenderse a valores negativos.
7. Video explicativo (guion y storyboard) y simulación
| Plano | Tiempo | Qué se ve | Narración |
|---|---|---|---|
| 1 · Dos rectas perpendiculares | 0:00-0:35 | El plano se dibuja desde el origen y aparece la cuadrícula | El eje horizontal es la variable que controlas; el vertical, la que depende. |
| 2 · Los cuatro cuadrantes | 0:35-1:20 | Los cuadrantes se numeran en sentido antihorario y se colorean según el signo | A la izquierda del origen x es negativo y abajo y es negativo. |
| 3 · El par ordenado | 1:20-2:05 | (3, 5) y (5, 3) se trazan como dos puntos distintos con flechas de recorrido | El orden importa: intercambiar las coordenadas cambia de lugar. |
| 4 · Tabla a puntos | 2:05-3:00 | La tabla de valores de y = 2x + 1 se vacía punto por punto sobre el plano | Elige tres valores, calcula y y ubica los puntos. |
| 5 · Interceptos | 3:00-3:45 | La recta cruza ambos ejes y los dos cortes se marcan con círculos | Haz x = 0 para hallar el corte con y y y = 0 para el corte con x. |
| 6 · Lectura de la gráfica | 3:45-4:30 | Una gráfica de costo se recorre con el dedo: inicio, pendiente, cruce con cero | La imagen dice lo que la ecuación guarda: valores iniciales y puntos donde la cantidad se anula. |
| 7 · Escalas y truco | 4:30-5:00 | Dos ejes con escalas distintas deforman la misma recta y luego se corrigen | Revisa la escala antes de comparar dos gráficas. |
8. Práctica guiada
En y = 3x - 2, cuando x = 4 el valor de y es .
La recta 2x + y = 8 corta el eje y en el punto (0, ).
¿Cuál punto no pertenece a la recta y = -x + 3?
La recta y = 4x - 7 corta al eje y en el punto (0, ).
9. Actividad interactiva
¿En qué cuadrante está el punto (-4, 5)?
Clasifica cada punto según pertenezca o no a la recta y = 2x + 1.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Une cada punto con el cuadrante donde está.
10. Práctica independiente
Los interceptos de la recta 4x - 2y = 8 son:
Una gráfica de costo total empieza en (0, 500) y sube hacia la derecha. ¿Qué significa el 500?
Los puntos (3, 5) y (5, 3) representan la misma ubicación en el plano.
Al graficar dos rectas con la misma pendiente y distinta ordenada al origen se observa que:
Una recta que baja al avanzar hacia la derecha tiene pendiente:
Trazar un tercer punto en la gráfica no aporta nada si ya usaste dos.
11. Aplicación real
Cualquier dashboard que hayas visto es un plano cartesiano: el eje horizontal casi siempre es tiempo y el vertical una cantidad. Leer una gráfica de ventas, de temperatura o de consumo eléctrico exige exactamente las habilidades de este objeto: identificar las escalas, interpretar los cortes con los ejes y distinguir si la línea sube o baja. El álgebra que viene después solo formaliza lo que aquí aprendes a ver.
12. Resumen
Lo que debes recordar
- El plano se forma con dos ejes perpendiculares que se cortan en el origen y genera cuatro cuadrantes.
- Un punto se nombra con un par ordenado (x, y); invertir el orden cambia el punto.
- La gráfica de una ecuación es el conjunto de todas sus soluciones; por eso una recta representa infinitos pares.
- Se puede trazar por tabla de valores, por interceptos o por pendiente y ordenada.
- De una gráfica se leen cortes con los ejes, dirección, cruce entre rectas y posición relativa al eje x.
Grafica a mano las dos rectas y = -x + 3 y y = 2x - 3 en el mismo plano y localiza su punto de corte. Escribe el par que obtienes y compruébalo sustituyéndolo en las dos ecuaciones.
Usa la tabla de valores con x = 0, 1, 2 y 3 para cada recta.
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
13. Rúbrica de autoevaluación
Revisa tu última gráfica con estos cinco criterios. El punto de entrada no es la estética del dibujo: es si cada punto que trazaste satisface la ecuación.
| Criterio | Logro destacado | En proceso | Por recuperar |
|---|---|---|---|
| Sistema de ejes | Etiqueta ejes, escala y unidades sin olvidar ninguna | Dibuja los ejes y omite la escala | Grafica sin referencias y hay que adivinar |
| Ubicación de puntos | Interpreta el par ordenado en el orden correcto | Confunde coordenadas y se corrige solo | Intercambia x y y de manera sistemática |
| Construcción de la tabla | Elige valores espaciados y calcula antes de trazar | Usa valores muy juntos y el trazo pierde precisión | Traza los puntos y después calcula |
| Interceptos | Halla ambos cortes y los usa para trazar | Solo calcula el corte con el eje y | No distingue un intercepto de cualquier otro punto |
| Lectura | Explica qué significa el punto inicial y el cruce con cero | Lee valores sueltos de la gráfica | No relaciona la imagen con el enunciado |
Fuentes
Referencias curriculares y de contenido
- SEP/DGB, Plan de Estudios de la Bachillerato General, área Pensamiento Matemático, semestre 2: relaciones y funciones (marco vigente, revisión 2026).
- MCCEMS, campo Pensamiento Matemático: variación y representación gráfica.
- Contenido, figura y actividades originales de Lumbre, autoría Roadwise Consulting.
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