Monomios y polinomios: partes, grado, orden y valor numérico
Ficha de identificación
| Elemento | Dato |
|---|---|
| Categoría | Preparatoria |
| Nivel | 1.º de Preparatoria |
| Semestre de referencia | 2 |
| Materia | Pensamiento Matemático II |
| Área curricular | Pensamiento Matemático |
| Unidad | Unidad 1: lenguaje algebraico y expresiones |
| Tema o etapa | Monomios y polinomios |
| Orden en la ruta | OA 2 de 4 |
| Marco curricular | Plan de Estudios de la Bachillerato General, SEP/DGB, vigente; campo Desarrollo Pensamental |
| Programa oficial de referencia | Pensamiento Matemático II, semestre 2, expresiones algebraicas y sus elementos |
| Meta educativa relacionada | Representar cantidades mediante expresiones polinómicas y caracterizarlas |
| Propósito formativo | Que el estudiante describa una expresión sin operarla: sus términos, su grado y su valor |
| Contenido formativo | Monomio, polinomio, término, coeficiente, parte literal, grado absoluto y relativo, orden, valor numérico |
| Conceptos clave | Monomio, binomio, trinomio, grado, término independiente, término nulo, valor numérico |
| Resultado de aprendizaje | Clasifica y caracteriza un polinomio y calcula su valor numérico con procedimientos verificables |
| Prerrequisitos | OA 1: variable, constante, coeficiente, parte literal y términos semejantes |
| OA siguiente | Operaciones con expresiones algebraicas |
| OA de refuerzo | Evaluación integradora de la Unidad 1 |
| Dificultad | Básica |
| Duración estimada | 20 minutos de lectura con tabla, más 15 de práctica |
| Tipo de OA | Conceptual-clasificatorio con verificación |
| Fecha de revisión | Septiembre de 2026 |
| Autor | Roadwise Consulting |
Qué vas a aprender
Antes de operar expresiones hay que saber describirlas. Este objeto te da el vocabulario con el que se clasifica cualquier expresión algebraica en tres preguntas: cuántos términos tiene, de qué grado es y cuánto vale cuando le das un número a la variable. Ese inventario parece burocrático y es lo que hace posible decidir después qué técnica aplicar.
- Distinguir monomio, binomio, trinomio y polinomio, y saber que un monomio también es un polinomio.
- Determinar el grado absoluto de un término, el grado relativo respecto a una letra y el grado de un polinomio.
- Ordenar un polinomio de mayor a menor grado y escribir los términos nulos cuando hacen falta.
- Leer los coeficientes de un polinomio ordenado, incluido el término independiente.
- Calcular el valor numérico de un polinomio y verificarlo por segunda ruta.
1. Activación: tres expresiones, tres preguntas
Toma 4x³, 2x² - 5 y x⁵ + 3x. Sin diccionario responde: ¿cuántos términos tiene cada una?, ¿cuál es el grado de la última?, ¿y el de la del medio? Después escribe qué usaste para decidir. Las tres respuestas son las que este objeto convierte en procedimiento.
2. El monomio: una sola pieza
Un monomio es un producto de un número por una o más letras elevadas a exponentes enteros no negativos. 7x, -3x², (1/2)ab y 100 son monomios; 1/x, 2x - 1 y raíz de x no lo son, porque la variable aparece en el denominador, hay una resta o hay un exponente que no es entero positivo. Sus tres elementos son el coeficiente con su signo, la parte literal y el grado absoluto, que es la suma de los exponentes de la parte literal.
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado respecto de cada letra | Grado absoluto |
|---|---|---|---|---|
| 9x | 9 | x | x: 1 | 1 |
| -4x³y² | -4 | x³y² | x: 3, y: 2 | 5 |
| (1/2)ab | 1/2 | ab | a: 1, b: 1 | 2 |
| 3a²b⁴c | 3 | a²b⁴c | a: 2, b: 4, c: 1 | 7 |
| -11 | -11 | ninguna | ninguno | 0 |
3. El polinomio: suma de monomios
Un polinomio es una suma de monomios. Cada sumando es un término, y los términos que no tienen parte literal forman el término independiente, que por eso es de grado cero. Por definición, un monomio es un polinomio de un término, así que todo monomio es polinomio pero no al revés. La clasificación por número de términos es la única que se usa con nombre propio: dos términos, binomio; tres, trinomio; cuatro o más, polinomio a secas.
| Expresión | ¿Es polinomio? | Términos | Nombre por número de términos | Grado |
|---|---|---|---|---|
| 5x³ - 2x + 1 | Sí | 3 | Trinomio | 3 |
| 7x | Sí | 1 | Monomio | 1 |
| x² - 9 | Sí | 2 | Binomio | 2 |
| 2/x + 3 | No | - | La variable está en el denominador | - |
| x⁵ + 3x - x² + 4 | Sí | 4 | Polinomio de cuatro términos | 5 |
| raíz de x + 1 | No | - | El exponente no es entero | - |
| 0 | Sí | - | Polinomio nulo | No tiene grado definido |
| -11 | Sí | 1 | Monomio constante | 0 |
4. Ordenar un polinomio y escribir los términos nulos
Un polinomio se ordena de mayor a menor grado respecto de una letra elegida, que es su forma estándar. Ordenar no cambia el valor: es una decisión de lectura. La razón por la que importa es que los huecos se ven: al escribir 2x³ - 5x + 7 en forma completa, 2x³ + 0x² - 5x + 7, aparece un coeficiente cero en el término cuadrático, y eso cambia el resultado de cualquier operación posterior que se haga por columnas.
| Como aparece | Ordenado | Con términos nulos | Término independiente |
|---|---|---|---|
| -5x + 2x³ + 7 | 2x³ - 5x + 7 | 2x³ + 0x² - 5x + 7 | 7 |
| x + 4 - x⁴ | -x⁴ + x + 4 | -x⁴ + 0x³ + 0x² + x + 4 | 4 |
| 3a²b - 2ab² + 5 | 3a²b - 2ab² + 5 según el grado de a | según a: 3a²b - 2ab² + 5; según b: -2ab² + 3a²b + 5 | 5 |
El tercer renglón merece detenerse: en dos letras no hay una única forma estándar. Si ordenas según el grado de a, queda 3a²b - 2ab² + 5 porque a aparece con exponentes 2, 1 y 0; si ordenas según el grado de b, queda -2ab² + 3a²b + 5. Ambas son correctas y hay que decir cuál usaste. Ese detalle se vuelve importante al multiplicar polinomios con dos letras, que verás en el siguiente objeto.
5. Leer los coeficientes
Un polinomio ordenado se puede escribir solo con sus coeficientes, porque las potencias ya están sobreentendidas. -4x⁵ + 2x³ - x + 8, escrito con términos nulos, es -4x⁵ + 0x⁴ + 2x³ + 0x² - x + 8, y su lista de coeficientes de mayor a menor grado es -4, 0, 2, 0, -1, 8: seis números, porque un polinomio de grado cinco tiene seis términos contando los nulos. Esta notación es la que hacen cómoda la división de polinomios y la lectura de patrones.
| Polinomio | Grado | Número de términos contando nulos | Coeficientes de mayor a menor grado |
|---|---|---|---|
| 5x³ - 2x + 1 | 3 | 4 | 5, 0, -2, 1 |
| -4x⁵ + 2x³ - x + 8 | 5 | 6 | -4, 0, 2, 0, -1, 8 |
| x² - 9 | 2 | 3 | 1, 0, -9 |
| 7x | 1 | 2 | 7, 0 |
6. Valor numérico de un polinomio
El valor numérico es lo que resulta al sustituir la variable por un número y operar con la jerarquía de rigor. Se calcula de dos formas que deben coincidir, y esa doble ruta es una verificación gratuita: sustituir término por término, o agrupar primero para calcular más fácil.
| x | Sustitución | Potencia | Producto | Resultado |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2(8) - 5(2) + 7 | 2³ = 8 | 16 - 10 | 13 |
| -1 | 2(-1) - 5(-1) + 7 | (-1)³ = -1 | -2 + 5 | 10 |
| 0 | 2(0) - 5(0) + 7 | 0 | 0 | 7 |
| 3 | 2(27) - 5(3) + 7 | 3³ = 27 | 54 - 15 | 46 |
Dos lecturas útiles salen de la tabla. Primero: el valor numérico en x = 0 siempre es el término independiente, porque todas las potencias de cero se anulan; por eso P(0) = 7, sin calcular nada. Segundo: al pasar de x = 2 a x = 3 el valor sube de 13 a 46, un salto de 33, mientras que de x = -1 a x = 0 sube solo 3; el término cúbico manda cuando la variable crece. Si dos expresiones dan el mismo valor en x = 0, x = 1 y x = 2 es razonable sospechar que son la misma expresión: esa es la idea de la verificación numérica.
7. Ejemplos paso a paso
Ejemplo 1. Caracteriza 6 - 2x⁴ + x⁵. Hay tres términos; ordenando según x: x⁵ - 2x⁴ + 6; su grado es 5, sus coeficientes son 1, -2, 0, 0, 0, 6 al completar los huecos de x³, x² y x; y el término independiente es 6.
Ejemplo 2. Grado de -3x⁴y³ respecto de x, respecto de y y absoluto: 4, 3 y 7.
Ejemplo 3. Valor numérico de Q(x) = -x² + 4x - 2 en x = -3. Sustitución con paréntesis: -(-3)² + 4(-3) - 2 = -(9) - 12 - 2 = -23. El primer término es negativo porque la potencia se evalúa antes que el signo.
Ejemplo 4. Q(0) = -2 sin operar: es el término independiente. Y si sabes que Q(1) = -x² + 4x - 2 en 1 da 1, tienes un punto extra para comprobar cualquier desarrollo posterior.
Ejemplo 5. Un rectángulo tiene lados 2x y x + 3. Su perímetro es 2(2x + x + 3) = 2(3x + 3) = 6x + 6, un binomio de grado uno; su área es 2x(x + 3) = 2x² + 6x, un binomio de grado dos. Con x = 2 los lados son 4 y 5: perímetro 18 y 6(2) + 6 = 18; área 20 y 2(4) + 12 = 20. Cuadran las dos.
Ejemplo 6. El volumen de un cubo de arista x es V = x³ y su superficie total es S = 6x². Con x = 3, V = 27 unidades cúbicas y S = 54 unidades cuadradas. Ambos son monomios, uno de grado tres y el otro de grado dos, y esa diferencia de grado explica que al crecer la arista el volumen crezca más rápido que la superficie.
Ejemplo 7. ¿Es un monomio la expresión 4x⁻²? No, porque el exponente de la variable es negativo, lo que equivale a poner la letra en el denominador. Sí lo es 4x².
Ejemplo 8. Dos estudiantes caracterizan x⁴ + 2x² - 3. Uno dice grado cuatro y tres términos; la otra dice grado dos porque el último término es -3. El primero tiene razón: el grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos, y el exponente del término independiente es cero, no dos.
8. Errores frecuentes y cómo se corrigen
| Error | Mal | Correcto | Por qué |
|---|---|---|---|
| Sumar los grados de todos los términos | grado de 2x³ - 5x + 7 es 4 | es 3 | El grado del polinomio es el mayor de sus términos, no la suma |
| Creer que el término independiente define el grado | decir que -x⁴ + x + 4 es de grado cero | es de grado cuatro | El 4 es de grado cero pero no es el mayor |
| Olvidar los coeficientes nulos | leer -4, 2, -1, 8 como lista de -4x⁵ + 2x³ - x + 8 | -4, 0, 2, 0, -1, 8 | Los huecos existen y llevan cero |
| Negar que un monomio sea polinomio | decir que 7x no es polinomio | es un polinomio de un término | Monomio es un caso particular, no una categoría aparte |
| Confundir grado relativo y absoluto | decir que 3a²b⁴c es de grado 4 | absoluto 7, relativo a b es 4 | Son dos preguntas distintas |
| Pierde el signo en el valor numérico | -(-3)² = 9 | -9 | Primero la potencia, después el negativo |
| Aceptar cualquier expresión como polinomio | decir que 2/x es un monomio | no es polinomio | La variable en el denominador equivale a exponente negativo |
9. Video explicativo: guion y storyboard
Pieza: video explicativo de producción propia. Título: 'Cuánto pesa cada término'. Objetivo: que el espectador ordene un polinomio, complete sus huecos y calcule un valor numérico por dos rutas. Duración objetivo: cuatro minutos veinte segundos. Formato: pizarrón animado con bloques de distintos tamaños. Elementos visuales: bloques por grado, casilleros vacíos, tabla de sustitución, rectángulo con lados 2x y x + 3. Relación con el OA: desarrolla las secciones 3, 4 y 6.
| Plano | Tiempo | En pantalla | Narración | Nota de producción |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0:00 a 0:30 | Tres bloques de tamaños distintos etiquetados x³, x y 7 | Un polinomio es una pila de bloques de distintos tamaños; solo los del mismo tamaño se apilan | Bloques sólidos, sin sombra |
| 2 | 0:30 a 1:15 | Aparece el bloque x³ y domina la pantalla | El grado del polinomio no es la suma de sus grados: es el bloque más grande | Comparación de tamaños |
| 3 | 1:15 a 2:00 | Fila de casilleros x⁵, x⁴, x³, x², x, número, con dos vacíos | Los huecos también se escriben, con un cero de coeficiente | Ilumina los casilleros vacíos |
| 4 | 2:00 a 2:40 | Monomio 7x dentro de un marco que dice polinomio | Todo monomio es un polinomio de un término; la categoría grande incluye a la chica | Diagrama de inclusión |
| 5 | 2:40 a 3:25 | Sustitución x = 2 en 2x³ - 5x + 7 con la tabla paso a paso | Potencia, producto, suma: trece. Y x igual a cero siempre deja el término independiente | Calculadora visible |
| 6 | 3:25 a 3:55 | Rectángulo de lados 2x y x + 3 con su perímetro | Perímetro de grado uno, área de grado dos: la geometría también clasifica | Dibujo a escala |
| 7 | 3:55 a 4:20 | Reto: caracteriza -x⁴ + x + 4 | Grado, número de términos, coeficientes y valor en cero. Cuatro respuestas en una línea | Cierre con la lista completa |
10. Práctica guiada
Responde en orden y no pases al siguiente hasta tener el anterior. Todas las respuestas se verifican con el valor numérico en x igual a cero.
- Ordena 3 - 7x² + x³. Respuesta: x³ - 7x² + 3.
- Escribe su forma completa con términos nulos. Respuesta: x³ - 7x² + 0x + 3.
- Indica grado, número de términos y término independiente. Respuesta: grado 3, tres términos, independiente 3.
- Calcula su valor en x = 2. Apoyo: 8 - 28 + 3. Respuesta: -17.
- Clasifica 5x² - 4 como binomio de grado dos y verifica su valor en x = 1: 5 - 4 = 1.
11. Actividades interactivas
Ficha de apoyo: un monomio es un producto de un número por letras con exponentes enteros no negativos; un polinomio es una suma de monomios y todo monomio es un polinomio de un término; el grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de su parte literal; el grado relativo es el exponente de una letra elegida; el grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos y no la suma de ellos; al ordenar de mayor a menor se completa con términos nulos de coeficiente cero; el término independiente es de grado cero y su valor numérico es el valor del polinomio en x igual a cero; y al sustituir un valor negativo, primero se evalúa la potencia y después se aplica el signo menos.
¿Cuál es el grado del polinomio 2x³ - 5x + 7?
¿Qué es 7x?
¿Cuál es la lista completa de coeficientes de -4x⁵ + 2x³ - x + 8, de mayor a menor grado?
El valor numérico de P(x) = 2x³ - 5x + 7 en x = -1 es:
Si Q(x) = -x² + 4x - 2, ¿cómo obtienes Q(0) sin calcular?
Dos expresiones dan el mismo valor en x = 0, x = 1 y x = 2. ¿Qué puedes concluir?
2/x es un monomio.
El grado del monomio 3a²b⁴c es 4.
El valor de -(-3)² es -9.
Un polinomio es una de monomios; el grado de un polinomio es el de los grados de sus términos.
Al escribir x³ - 7x² + 3 en forma completa aparece el término nulo , porque falta la letra con exponente uno.
En el polinomio x⁵ - 2x⁴ + 6, el número 6 es el término y el coeficiente de x⁴ es .
Clasifica cada expresión según su grado.
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Une cada expresión con su descripción correcta.
Inventa un polinomio de grado cuatro en dos letras, escríbelo desordenado y luego en su forma estándar según cada letra, indica grado absoluto de cada término y calcula su valor numérico con valores pequeños. Cierra explicando por qué la forma estándar cambia según la letra que elijas y en qué situación esa elección conviene a un cálculo.
Un término con x³y es de grado cuatro en total y de grado tres respecto de x.
Tu texto se guarda sólo en este dispositivo.
12. Práctica independiente
- Caracteriza doce expresiones dadas por tu docente: tipo por número de términos, grado absoluto, grado relativo a cada letra y término independiente.
- Escribe cinco polinomios completos con sus términos nulos y extrae solo la lista de coeficientes.
- Calcula el valor numérico de tres polinomios en x = 0, 1, -1 y 2, y verifica cada resultado dos veces por rutas distintas.
- Explica por escrito por qué 4x⁻² no es un monomio, usando el lenguaje de los exponentes.
- Modela con un polinomio el perímetro y el área de tres rectángulos cuyas lados dependan de x, y verifica con un valor concreto.
- Compara volumen y superficie de un cubo para aristas 1, 2, 3 y 5, y explica en dos líneas qué magnitud crece más rápido.
13. Aplicación real
Las fórmulas que se usan en física, en economía y en ingeniería son polinomios o combinaciones de ellos: el costo total de producir q piezas con un costo fijo más un costo lineal más uno cuadrático, el área de un terreno con lados expresados en x, o la distancia recorrida con aceleración constante. Antes de usar cualquiera de esas fórmulas hay que saber qué grado tiene, porque el grado dice cómo crece: el término de mayor grado manda cuando la variable crece, y eso es exactamente lo que se pregunta cuando alguien quiere saber qué pasa si se duplica la producción.
14. Resumen
- Monomio: producto de un número por letras con exponentes enteros no negativos.
- Polinomio: suma de monomios; un monomio es un polinomio de un término.
- Grado absoluto de un término: suma de exponentes de su parte literal.
- Grado relativo: exponente de una letra elegida dentro de la misma expresión.
- Grado del polinomio: el mayor de sus términos, nunca la suma.
- Forma estándar: ordenar de mayor a menor y escribir los términos nulos.
- El término independiente es de grado cero y da el valor del polinomio en cero.
- Con valores negativos, la potencia se evalúa antes del signo menos.
15. Rúbrica de desempeño del objeto
| Desempeño | Aún no | En proceso | Lo logré | Lo explico a otro |
|---|---|---|---|---|
| Clasificar expresiones | Acepta cualquier expresión como polinomio | Descarta variables en el denominador | Clasifica por términos y por grado con dos letras | Explica por qué un monomio es polinomio |
| Grados | Suma los grados de los términos | Distingue relativo y absoluto con dudas | Reporta ambos sin equivocarse | Pone un ejemplo donde la diferencia importa |
| Orden y términos nulos | Ordena mal o deja huecos | Ordena y completa con apoyo | Escribe la lista de coeficientes correcta | Muestra qué se rompe si omites el cero |
| Valor numérico | Pierde signos en la sustitución | Calcula con la lista de pasos | Verifica por dos rutas y anticipa el valor en cero | Explica por qué el valor en cero es el independiente |
16. Fuentes y trazabilidad
Marco curricular: programa de estudios para la educación media superior, SEP/DGB, Nueva Escuela Mexicana, ciclo escolar vigente; campo de desarrollo pensamental, componente Pensamiento Matemático, semestre 2. Contenido formativo de referencia: expresión de relaciones y generalizaciones mediante expresiones algebraicas. Objeto anterior: Variables y lenguaje algebraico. Objeto siguiente: Operaciones con expresiones algebraicas. Autor del contenido: Roadwise Consulting para Lumbre, 2026. Nota: todas las expresiones, grados, coeficientes y valores numéricos fueron recalculados para esta versión; ningún desarrollo reproduce texto oficial protegido.
OA anterior: Variables y lenguaje algebraico. OA siguiente: Operaciones con expresiones algebraicas, donde vas a sumar, restar y multiplicar lo que aquí aprendiste a describir. Refuerzo: si fallaste el reactivo de coeficientes con términos nulos, repite la sección 5 antes de continuar.
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