Evaluación integradora de la Unidad 4 y del semestre
| Elemento | Dato |
|---|---|
| Materia | Pensamiento Matemático III |
| Unidad | Unidad 4. Círculo, lugares geométricos y razonamiento |
| Tema | Evaluación integradora de la Unidad 4 y del semestre |
| Objeto de aprendizaje | 4 de 4 |
| Duración estimada | 60 minutos |
| Dificultad | Alta |
| Prerrequisito | Las cuatro unidades del semestre: función cuadrática, sistemas no lineales y exponenciales, geometría plana, círculo y razonamiento. |
| Siguiente | Pensamiento Matemático IV, semestre 4: geometría analítica y trigonometría. |
| Categoría | Preparatoria |
| Nivel | 2.º de Preparatoria |
| Semestre | 3 |
| Área | Pensamiento Matemático |
| Tema / etapa | Evaluación integradora de la Unidad 4 y del semestre |
| OA en la ruta | 4 de 4 |
| Tipo de OA | Desarrollo de tema |
| Resultado de aprendizaje | Integrar los aprendizajes del semestre en una evaluación mixta y en un proyecto de diseño con cálculo de medidas, costo y modelado de llenado, redactando la justificación de cada decisión. |
| Conceptos clave | vértice, sistema no lineal, crecimiento exponencial, logaritmo, sector, Pitágoras, construcción, contraejemplo, caudal, justificación |
| Marco curricular | SEP/DGB, Plan de Estudios de la Bachillerato General, campo de Pensamiento Matemático |
| Programa de referencia | Marco Curricular Común para la Educación Media Superior (MCCEMS), semestre 3 |
| Fuente curricular | Programa analítico de la materia construido por Lumbre a partir del programa SEP/DGB vigente |
| Plan de estudios | Plan de Estudios de la Bachillerato General SEP/DGB (vigente) |
| Autor | Roadwise Consulting |
| Edad referencial | 16 a 19 años |
| OA anterior | pmat3-u4-razonamiento-deductivo-conjeturas-y-contraejemplos |
| OA siguiente | pmat4-u1-plano-cardesiano-distancia-y-pendiente |
| Fecha de revisión | 2026-09-25 |
| Versión de contenido | 2 (diagrama original, 2026-09-25) |
1. Arranque: qué se integra aquí
No hay tema nuevo en este objeto; hay uno viejo usado entero. el semestre articula tres maneras de decir lo mismo: con una ecuación, con una figura y con un argumento. Un mismo estanque se describe con una ecuación de llenado, con un círculo y una rampa, y con el argumento de por qué su área se calcula restando.
- Resolver reactivos de las cuatro unidades sin aviso previo de tema.
- Elegir la herramienta adecuada en cada situación.
- Diseñar y calcular una figura compuesta con costo.
- Modelar el llenado de un depósito con una función lineal.
- Redactar la justificación de cada decisión del proyecto.
2. Mapa del semestre en una tabla
| Unidad | Herramienta madre | Qué pregunta responde | Reactivos de esta evaluación |
|---|---|---|---|
| 1. Cuadrática | vértice y formas de la función | cuánto es el máximo o mínimo | del 1 al 6 |
| 2. Sistemas y exponenciales | intersección de gráficas y razón constante | dónde se encuentran y cuándo se duplica | del 7 al 13 |
| 3. Geometría plana | ángulos, semejanza y Pitágoras | qué medida falta y por qué | del 14 al 20 |
| 4. Círculo y razonamiento | sector, construcción y contraejemplo | cuánto abarca y cómo se prueba | del 21 al 26 |
en funciones, la forma de la ecuación decide qué pregunta se puede responder sin calcular. en geometría plana cada paso necesita una razón nombrada, y el número sin razón no es respuesta.
3. Reactivos 1 a 6: función cuadrática
El vértice de f(x) = x^2 - 6x + 5 está en:
La misma función corta el eje x en 1 y en 5. El vértice está en x igual a 3 porque:
Un tiro vertical sigue h(t) = -4.9t^2 + 14.7t + 2. El máximo ocurre aproximadamente en:
La forma canónica a(x - h)^2 + k muestra de inmediato:
Con 24 metros de malla apoyada en un muro, el corral de mayor área mide:
Una parábola con a positiva puede tener un máximo.
4. Reactivos 7 a 13: sistemas, exponenciales y logaritmos
La recta y = x + 1 y la circunferencia x^2 + y^2 = 25 se cortan en:
Si una población se duplica cada cinco años y hoy es de 2 000, en quince años será:
La solución de 2^x = 32 es x igual a:
logaritmo de 1000 en base 10 vale:
Un capital de 10 000 pesos al 8 por ciento anual compuesto durante tres años es aproximadamente:
En la sustitución de la recta en la circunferencia se llega a x^2 + x - 12 = 0, cuyas soluciones son y .
Une cada pregunta con la forma o herramienta que la responde rápido
5. Reactivos 14 a 20: geometría plana
El suplemento de 118 grados mide:
Cada ángulo interior de un hexágono regular mide:
Dos triángulos semejantes con k igual a 3 y área menor 8 tienen área mayor:
La diagonal de un rectángulo de 20 por 15 mide:
Un triángulo de lados 4, 6 y 8 es:
Ángulo-ángulo-ángulo garantiza congruencia de triángulos.
Une cada dato con la conclusión que se puede afirmar
6. Reactivos 21 a 26: círculo, construcciones y razonamiento
El área de un sector de 60 grados en un círculo de radio 10 es aproximadamente:
Una rueda de 66 cm de diámetro recorre en cien vueltas casi:
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que:
¿Cuál es contraejemplo de "todo número impar es primo"?
Si la distancia entre centros de dos circunferencias de radios 5 y 3 es 2, entonces:
El contrarrecíproco de un enunciado verdadero siempre es verdadero.
7. Simulación de mesa: decide la herramienta
Cada situación admite varias cuentas; la tabla pide la más corta y su resultado. Llena una columna en hoja aparte antes de leer la solución.
| Situación | Herramienta | Cuenta | Resultado |
|---|---|---|---|
| Área de un terreno en plano a escala 1 a 20 000 | escala al cuadrado | un centímetro cuadrado de papel | cuatro hectáreas reales |
| Cuánto late una barda de 25 metros de largo por 2 de alto | área de rectángulo | 25 por 2 | 50 metros cuadrados |
| Dónde poner el aspersor que riegue tres árboles | dos mediatrices | circuncentro | un punto equidistante |
| Cuánto tarda en llenarse un tanque de 25 metros cúbicos | función lineal | 25 entre 0.4 | 62.5 minutos |
| Cuándo se cortan recta y circunferencia | sistema no lineal | sustituir y factorizar | dos puntos |
el llenado de un depósito es una función lineal en el tiempo, y su pendiente es el caudal. Con 0.4 metros cúbicos por minuto, los 25 metros cúbicos del estanque del proyecto entran en 62.5 minutos, es decir una hora y dos minutos y medio.
8. Proyecto integrador: el estanque del plantel
el proyecto integrador del semestre diseña un estanque con su banqueta y su rampa, calcula medidas y modela su llenado. Se entrega por equipos de tres, en una hoja con dibujo a escala, los cálculos al reverso y la memoria de dos cuartillas. el semestre se usa completo apenas alguien quiere construir algo: primero se modela, después se mide y al final se argumenta.
- Parte A. Geometría. Un estanque circular de 4 m de radio está rodeado por una banqueta anular de 1 m de ancho. Calcula el área del espejo de agua, el área de la banqueta y la longitud del borde exterior.
- Parte B. Costos. El recubrimiento del estanque cuesta 380 pesos por metro cuadrado y la guarnición de la banqueta 95 pesos por metro lineal. Determina el presupuesto de las dos partidas.
- Parte C. Rampa. La rampa de acceso sube 0.6 m sobre una corrida horizontal de 2.4 m. Calcula su longitud inclinada con Pitágoras y verifica la pendiente como razón vertical entre horizontal.
- Parte D. Llenado. Con un caudal de 0.4 metros cúbicos por minuto y una profundidad de 0.5 m, escribe la función de volumen en el tiempo, calcula el tiempo total y gráfica la recta con su dominio.
- Parte E. Argumento. Escribe por qué la banqueta se calcula restando dos círculos y no sumando perímetros, y qué propiedad geométrica garantiza que el punto de la ducha queda equidistante de los bordes.
| Parte | Cuenta | Resultado | Unidad |
|---|---|---|---|
| A espejo de agua | pi por 4 al cuadrado | 50.27 | metros cuadrados |
| A banqueta | pi por 25 menos pi por 16 | 28.27 | metros cuadrados |
| A borde exterior | dos pi por 5 | 31.42 | metros |
| B recubrimiento | 50.27 por 380 | 19 102.60 | pesos |
| B guarnición | 31.42 por 95 | 2 984.90 | pesos |
| C rampa | raíz de 0.36 más 5.76 | 2.47 | metros |
| D volumen | V(t) igual a 0.4t hasta 25.13 | 62.8 | minutos |
La parte D usa el volumen, no el área: 50.27 metros cuadrados de fondo por 0.5 m de profundidad dan 25.13 metros cúbicos, y eso tarda 62.8 minutos. el costo de una obra se calcula sobre superficies, así que un error de área se multiplica por el precio unitario, así que conviene anotar cada cifra con su unidad y su precio.
9. Actividad interactiva de cierre
Ordena las fases del proyecto integrador
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Une cada resultado con la magnitud que es
10. Errores frecuentes del semestre
| Error | Unidad | Cómo se desarma |
|---|---|---|
| Confundir las formas de la cuadrática | 1 | el vértice de una parábola está en la mitad exacta entre sus dos raíces |
| Aceptar una sola solución en un sistema no lineal | 2 | sustituir de nuevo y checar ambos puntos |
| Sumar porcentajes en lugar de componerlos | 2 | en el crecimiento exponencial la razón es constante, así que duplicarse quince años cuesta el mismo factor que duplicarse cinco |
| Usar la razón k en áreas sin elevarla | 3 | en geometría plana cada paso necesita una razón nombrada, y el número sin razón no es respuesta |
| Aplicar Pitágoras sin ángulo recto | 3 | señalar el ángulo recto antes de escribir |
| Multiplicar por el ángulo en lugar de dividirlo entre 360 | 4 | un sector es la fracción del ángulo sobre 360 aplicada al área del círculo |
| Dar por cierto lo que no tiene demostración | 4 | una afirmación universal se prueba con una demostración y se refuta con un solo caso |
los cuatro errores que más cuestan puntos son mezclar formas de una función, olvidar la fracción angular, aplicar Pitágoras sin ángulo recto y generalizar sin demostrar. En la sección 15 hay una banda de estudio para cada uno de esos siete casos.
11. Video: cómo se estudia un examen integrador
| Plano | Tiempo | Imagen en pantalla | Narración | Texto en pantalla |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0:00-0:25 | Una hoja partida en cuatro recuadros, cada uno con un icono: parábola, curva exponencial, triángulo y círculo. | El examen no pregunta unidad por unidad: mezcla. Así que se estudia por decisiones, no por temas. | cuatro recuadros |
| 2 | 0:25-1:10 | Aparece un enunciado y tres preguntas posibles: máximo, raíz, intercepto. | Primero se identifica qué pregunta hace el problema. La forma de la ecuación se elige después. | pregunta antes que formula |
| 3 | 1:10-1:55 | Se ve una figura con datos y se iluminan los ángulos rectos y las paralelas. | En geometría el primer movimiento es marcar en el dibujo lo que sí está garantizado: el ángulo recto, las paralelas, el radio. | marcar lo garantizado |
| 4 | 1:55-2:40 | Un sector sombreado y la fracción angular escrita sobre 360. | Con el círculo casi todo es una fracción: el área del sector es la fracción del área, no del contorno. | fracción sobre 360 |
| 5 | 2:40-3:25 | Una hoja de respuestas con la columna de unidades subrayada en rojo. | La unidad es parte de la respuesta. Un número sin unidad es un borrador. | unidad |
| 6 | 3:25-4:05 | Se escribe una afirmación universal y al lado un contraejemplo en rojo. | Y si el reactivo pide probar o refutar: la refutación cuesta un caso, la prueba cuesta un argumento completo. | un caso o una prueba |
| 7 | 4:05-4:35 | Vuelve la hoja de cuatro recuadros y ahora cada uno lleva una pregunta escrita. | Estudiar para el integrador es poder elegir herramienta sin que te la digan. | elegir herramienta |
12. Mini evaluación de repaso exprés
Las raíces de x^2 - 6x + 5 son:
El punto de la circunferencia x^2 + y^2 = 25 que está en la recta y = x + 1 con x positiva es:
Si 3^x = 81, x vale:
El área de un círculo se cuadruplica si el radio:
Un arco de 90 grados en un círculo de radio 6 mide aproximadamente:
13. Rúbrica del proyecto y conversión de puntaje
| Criterio | Excelente | Adecuado | Aún no |
|---|---|---|---|
| Diseño y escala | el dibujo está a escala y acotado | dibujo correcto sin acotar | sin dibujo |
| Cálculo de medidas | áreas, contornos y volumen correctos con unidades | un desliz aritmético | confunde área y contorno |
| Presupuesto | aplica precio unitario a la magnitud correcta | multiplica bien pero con magnitud equivocada | no presupuesta |
| Modelado de llenado | escribe la función, su dominio y gráfica | escribe la función sin dominio | da sólo el tiempo |
| Argumento | justifica con propiedades y distingue necesidad de suficiencia | describe lo que hizo | no justifica |
| Puntos de 100 | Componente | Nivel | Qué volver a estudiar |
|---|---|---|---|
| 90 a 100 | 26 reactivos y proyecto completo | Destacado | nada pendiente; avanza al semestre 4 |
| 75 a 89 | entre 19 y 23 de 26 | Satisfactorio | refuerza contraejemplo y fracción angular |
| 60 a 74 | entre 14 y 18 de 26 | Suficiente | vuelve a Unidad 3 con la práctica guiada |
| menos de 60 | menos de 14 de 26 | En riesgo | rehace las cuatro simulaciones de mesa del semestre |
convertir puntaje en nivel no es un trámite: cada banda de calificación dice qué volver a estudiar. El proyecto se puede entregar una segunda vez dentro de la semana; la segunda entrega se registra con la nota del criterio que sí mejoró.
14. Práctica guiada de examen
Reactivo modelo. Un estanque circular de 4 m de radio se rodea con una banqueta de 1 m de ancho. Se recubre el fondo a 380 pesos por metro cuadrado y se guarniza el borde exterior a 95 pesos por metro lineal. Se llena con 0.4 metros cúbicos por minuto hasta 0.5 m de profundidad. Calcula las cuatro cifras y escribe una línea de justificación por cada una.
- Espejo de agua: pi por 4 al cuadrado = 50.27 metros cuadrados, porque el área de un círculo es pi por radio al cuadrado.
- Círculo completo con banqueta: pi por 5 al cuadrado = 78.54; banqueta = 78.54 menos 50.27 = 28.27 metros cuadrados, porque la corona es la resta de dos superficies.
- Recubrimiento: 50.27 por 380 = 19 102.60 pesos, porque el precio se cobra por superficie del fondo.
- Guarnición: borde exterior = dos pi por 5 = 31.42 metros, y 31.42 por 95 = 2 984.90 pesos, porque la guarnición se cobra por longitud.
- Volumen: 50.27 por 0.5 = 25.13 metros cúbicos; tiempo = 25.13 entre 0.4 = 62.8 minutos.
- Función de llenado: V(t) = 0.4t, con dominio de 0 a 62.8 minutos, y su gráfica es la recta de pendiente 0.4.
- Verificación de magnitud: la banqueta debe ser menor que el estanque, y 28.27 cumple; el tiempo debe ser mayor que 50 minutos, y 62.8 cumple.
Total: 19 102.60 más 2 984.90 = 22 087.50 pesos y 62.8 minutos de llenado. el costo de una obra se calcula sobre superficies, así que un error de área se multiplica por el precio unitario.
15. Práctica independiente, guía de estudio y productos
- Ejercicio 1. Cambia los datos del reactivo modelo: radio 5 m, banqueta de 1.5 m, recubrimiento a 410 pesos, guarnición a 105 y profundidad 0.6 m. Entrega las cuatro cifras y la función de llenado.
- Ejercicio 2. Resuelve el sistema de la recta y = 2x - 1 con la circunferencia x^2 + y^2 = 10 y verifica los dos puntos.
- Ejercicio 3. Una inversión de 15 000 pesos crece al 6 por ciento anual compuesto. Escribe la función, calcula el monto a cinco años y responde en cuántos años se duplica aproximadamente.
- Ejercicio 4. Traza con regla y compás el punto equidistante de los vértices de un triángulo de lados 7, 8 y 10 y determina si queda dentro o fuera.
- Ejercicio 5. Refuta o demuestra: la suma de dos números pares es impar; el cuadrado de un número impar es impar; si dos ángulos son suplementarios entonces son opuestos por el vértice.
- Ejercicio 6. En un círculo de radio 12, calcula arco y área de sector para 45 y 120 grados y verifica que la razón de áreas sea la misma que la de arcos.
- Producto 1. La hoja de reactivos 1 a 26 con el procedimiento visible y las unidades al lado de cada número.
- Producto 2. El proyecto de la sección 8 con memoria de dos cuartillas: datos, fórmulas reconstruidas, presupuesto, función de llenado y las dos líneas de argumento.
- Guía de estudio por banda: si fallaste reactivos de la unidad 1, rehaz la forma canónica con tres ejemplos; de la 2, vuelve a sustituir una recta en una circunferencia; de la 3, rehaz la tabla de efectos de k; de la 4, redacta dos demostraciones de cuatro renglones.
16. Resumen del semestre en doce líneas
- Toda función cuadrática tiene un extremo en x igual a menos b entre dos a.
- Las tres formas de la cuadrática responden tres preguntas distintas.
- Un sistema con una recta y una circunferencia tiene cero, uno o dos puntos de corte.
- En el crecimiento exponencial la razón es constante; el logaritmo pregunta por el exponente.
- En geometría plana la suma de los interiores de un triángulo es 180 grados.
- La congruencia se prueba con un criterio y la semejanza con dos ángulos.
- Con la razón k, las áreas crecen con k al cuadrado.
- Pitágoras exige ángulo recto señalado, y su recíproco clasifica triángulos.
- El sector es la fracción del ángulo sobre 360 aplicada al área.
- Construir con regla y compás es demostrar sin medir.
- Una conjetura se prueba con argumento y se refuta con un caso.
- el semestre articula tres maneras de decir lo mismo: con una ecuación, con una figura y con un argumento.
el semestre se usa completo apenas alguien quiere construir algo: primero se modela, después se mide y al final se argumenta.
— Cierre del semestre
17. Glosario y anexo de anclas
| Término | Qué significa aquí |
|---|---|
| Vértice | el punto extremo de la parábola |
| Forma canónica | a(x - h)^2 + k, la que muestra el vértice |
| Sistema no lineal | dos ecuaciones donde al menos una no es recta |
| Razón constante | el factor que multiplica en cada paso del crecimiento exponencial |
| Corona | región entre dos circunferencias concéntricas |
| Circuncentro | punto equidistante de los tres vértices |
| Conjetura | afirmación observada y todavía sin demostrar |
| Caudal | el volumen por unidad de tiempo, la pendiente del llenado |
| Precio unitario | el costo por metro o por metro cuadrado |
| Dominio | los valores de la variable que tienen sentido en el problema |
| Idea | Ancla |
|---|---|
| Semestre | el semestre articula tres maneras de decir lo mismo: con una ecuación, con una figura y con un argumento |
| Funciones | en funciones, la forma de la ecuación decide qué pregunta se puede responder sin calcular |
| Cuadrática | el vértice de una parábola está en la mitad exacta entre sus dos raíces |
| Sistemas | resolver un sistema no lineal es encontrar los puntos donde las gráficas se encuentran, y puede haber cero, uno o dos |
| Exponencial | en el crecimiento exponencial la razón es constante, así que duplicarse quince años cuesta el mismo factor que duplicarse cinco |
| Logaritmo | el logaritmo pregunta por el exponente: para qué elevado a la base se obtiene el número |
| Geometría | en geometría plana cada paso necesita una razón nombrada, y el número sin razón no es respuesta |
| Círculo | un sector es la fracción del ángulo sobre 360 aplicada al área del círculo |
| Construcción | una construcción con regla y compás es una demostración hecha con trazos |
| Contraejemplo | una afirmación universal se prueba con una demostración y se refuta con un solo caso |
| Proyecto | el proyecto integrador del semestre diseña un estanque con su banqueta y su rampa, calcula medidas y modela su llenado |
| Costo | el costo de una obra se calcula sobre superficies, así que un error de área se multiplica por el precio unitario |
| Llenado | el llenado de un depósito es una función lineal en el tiempo, y su pendiente es el caudal |
| Niveles | convertir puntaje en nivel no es un trámite: cada banda de calificación dice qué volver a estudiar |
| Errores | los cuatro errores que más cuestan puntos son mezclar formas de una función, olvidar la fracción angular, aplicar Pitágoras sin ángulo recto y generalizar sin demostrar |
| Programa | el programa de semestre 3 pide integrar los aprendizajes de las cuatro unidades en la solución de problemas y en una justificación escrita |
| Vida diaria | el semestre se usa completo apenas alguien quiere construir algo: primero se modela, después se mide y al final se argumenta |
18. Fuentes y continuidad
Objeto construido sobre el programa analítico de Pensamiento Matemático III (SEP/DGB, semestre 3), como evaluación integradora de las cuatro unidades, con referencia al MCCEMS. Los reactivos, el proyecto, el presupuesto y el guion son originales de Lumbre; todas las cifras fueron recalculadas y verificadas por una segunda vía. el programa de semestre 3 pide integrar los aprendizajes de las cuatro unidades en la solución de problemas y en una justificación escrita.
Autoevaluación de este objeto
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Mapa de la Unidad 4
- Medida y razonamiento
La unidad cierra el ano mezclando dos habilidades: medir el circulo (arcos, sectores) y razonar con rigor (conjetura, demostración, contraejemplo). La segunda es la que te prepara para matemáticas superiores.
- La distincion de oro
Antes de afirmar que algo es verdad en matemáticas, preguntate: lo prove para todos los casos o solo lo verifique en unos pocos? Si no hay demostración, es conjetura; si aparece un contraejemplo, es falsa. En un examen, que te piden: probar o dar un contraejemplo? Lee el verbo.
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