Límite de una función
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El primer intento siempre es sustituir. Si f es razonable y el denominador no se anula, lim f(x) cuando x tiende a a es simplemente f(a). Cuando la sustitución da 0/0 o ∞/∞ tienes una indeterminación: hace falta álgebra.
Caso 0/0: factorizar
Para lim (x² − 1)/(x − 1) cuando x tiende a 1, sustituir da 0/0. Pero (x² − 1) = (x − 1)(x + 1), así que el cociente es (x + 1) siempre que x ≠ 1, y el límite es 1 + 1 = 2. El valor en x = 1 es irrelevante: la función no está definida ahí, pero el límite sí existe.
Cuando el límite no existe
Si al acercarse a a por la izquierda y por la derecha se obtienen valores distintos, el límite no existe. El ejemplo tipo es f(x) = x/x: vale −1 para x negativo y +1 para x positivo.
f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) · f(x) = 2
¿Cuánto vale lim (x² − 9)/(x − 3) cuando x tiende a 3?
Si f(2) no está definida, entonces lim cuando x tiende a 2 de f(x) tampoco puede existir.
Une cada expresión (x tiende al valor indicado) con el resultado del límite.
Gotchas frecuentes
- Responder «0/0 = 1» o «0/0 no existe»: 0/0 no es un número, es una bandera para ponerse a manipular.
- Cancelar sin justificar: sólo puedes cancelar un factor si x no vale exactamente el punto prohibido, cosa que en un límite siempre puedes asumir.
- Racionalizar mal el signo: al multiplicar por el conjugado, cuidado con los productos notables.
Ejemplo resuelto
- Calcula lim (√x − 2)/(x − 4) cuando x tiende a 4.
- Sustituir da 0/0: hay indeterminación.
- Multiplica arriba y abajo por el conjugado (√x + 2).
- Arriba queda x − 4; abajo (x − 4)(√x + 2).
- Cancela (x − 4) y sustituye: 1/(√4 + 2) = 1/4.
En modelos, los límites laterales son lo que hace que una función de pérdida o una activación (p. ej. ReLU) sean tratables: saber si una función es continua y acotada cerca de un punto decide si el algoritmo numérico convergerá o explotará.
Recetas de cálculo
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Límites de funciones (repaso formal)Técnicas algebraicas de resolución y criterios de inexistencia.
Sin aplicar la regla de LHôpital, resuelve lim (x³ − 1)/(x − 1) para x→1 usando factorización y comprueba el resultado con valores numéricos muy cercanos a 1 por ambos lados.
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3Blue1Brown: CalculusSerie visual de calculo diferencial con intuicion geometrica.
Compuerta de dominio: Límite de una función
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