Función cuadrática: forma, vértice y simetría

1. Arranque: la pelota que sí sabe matemáticas

Lanza una pelota al aire con la mano y mírala un segundo de más. Sube, se frena arriba y baja. Nadie calculó nada, pero el recorrido tiene dueña de casa: una parábola. Si esa trayectoria fuera recta, la pelota subiría para siempre o caería en línea recta hacia abajo; lo que hace —frenar arriba y devolver el camino— es la firma de una función cuadrática. toda la unidad gira alrededor de una sola pregunta: ¿qué forma tiene lo que no es recta y por qué.

2. Qué es y qué no es una cuadrática

Una función es una máquina de una sola salida: le das un número y te devuelve uno, siempre el mismo si le das la misma entrada. Una función cuadrática es la máquina cuya fórmula dice: multiplica por sí mismo, pesa ese resultado con un número, súmale una vez el valor y un ajuste. Escrito: la forma general de una función cuadrática es f(x) = ax^2 + bx + c, con a distinta de cero. El coeficiente a es el del término cuadrático y no puede ser cero; si a = 0 la fórmula se queda sin curva y vuelve a ser recta.

Las tres son la misma función vestida distinto. elegir una forma u otra no es estética: cada forma contesta una pregunta distinta: si te preguntan por la altura máxima, la canónica contesta en un segundo; si te preguntan dónde toca el suelo, la factorizada; si te preguntan por el valor inicial, la general.

3. El vértice: por qué vive en x = -b / 2a

No lo memorices como conjuro: es una consecuencia. Partimos de la forma general de una función cuadrática es f(x) = ax^2 + bx + c, con a distinta de cero y completamos el cuadrado para forzar la forma canónica.

Como el cuadrado (x - h)^2 nunca es negativo, su valor mínimo es 0 y ocurre justo cuando x = h. si a es positivo el vértice es el punto más bajo de la gráfica; si a es negativo, el más alto. Por eso el vértice no es "un punto bonito de la curva": es el punto donde la curva cambia de dirección y el eje de simetría es la recta vertical que lo atraviesa.

4. La simetría: la propiedad que te ahorra mitad de trabajo

la parábola es simétrica respecto de la recta vertical que pasa por su vértice. Traducción práctica: si sabes que la función vale 5 en x = 0 y que el eje de simetría es x = 3, entonces también vale 5 en x = 6, sin calcularlo. en la tabla de valores, dos puntos con la misma altura están a igual distancia del eje de simetría. Y de ahí sale un dato que sí vale la pena recordar: las dos raíces, cuando existen, están a la misma distancia del eje, así que el promedio de las raíces es exactamente h.

Mira la columna de f(x): 5, 0, -3, -4, -3, 0, 5. Es un espejo con el -4 en el centro. el error más caro de la unidad es confundir la altura del vértice con el valor de x del vértice: la altura del vértice es -4, pero el vértice "está" en x = 3; son dos números con papeles distintos y confundirlos contamina todo el problema.

Ejemplo 1. De general a canónica

Función: f(x) = x^2 - 6x + 5. Aquí a = 1, b = -6, c = 5. las coordenadas del vértice son h = -b / 2a y k = f(h): h = -(-6) / (2·1) = 3. Sustituyo: k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4. Forma canónica: f(x) = (x - 3)^2 - 4. Vértice (3, -4), abre hacia arriba porque a = 1 es positivo, y el eje de simetría es la recta x = 3.

Ejemplo 2. Raíces por factorización

Las mismas: x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5). Las raíces son x = 1 y x = 5. Verifica la simetría: el promedio de 1 y 5 es 3, que es exactamente h. una raíz es un valor de x que hace cero la función, no un punto de la gráfica: cada raíz es un número, no un punto; el punto donde la curva corta el eje x es (1, 0) y (5, 0).

Ejemplo 3. Parábola que abre abajo

Función: f(x) = -2x^2 + 8x - 3. a = -2, b = 8, c = -3. h = -8 / (2·(-2)) = 2. k = f(2) = -8 + 16 - 3 = 5. Vértice (2, 5) y, como a es negativo, ese 5 es el máximo de la función. Discriminante: b^2 - 4ac = 64 - 24 = 40, positivo, así que corta el eje x dos veces: el discriminante b^2 - 4ac anticipa cuántas raíces reales tiene la función. Las raíces son x ≈ 0.42 y x ≈ 3.58.

Ejemplo 4. Un corral con 24 metros de alambre

Se quiere cercar un corral rectangular apoyándose en un muro: el alambre sólo cubre tres lados (dos anchos x y un largo). el área del corral se escribe A(x) = x(24 - 2x) y su máximo cae en la mitad del rango posible. El largo es 24 - 2x, así que A(x) = 24x - 2x^2, una cuadrática con a = -2. Vértice: x = -24 / (2·(-2)) = 6, y A(6) = 6 × (24 - 12) = 72. Con seis metros de ancho y doce de largo se encierran 72 metros cuadrados: el máximo posible con ese alambre. Nota que x = 0 y x = 12 dan área cero —el extremo del dominio— y que el máximo cae justo a la mitad: siempre simétrico.

8. Actividad interactiva: simulación de mesa con a, b y c

Sin calculadora graficadora: toma lápiz y contesta las tres preguntas de cada fila. Este ejercicio vale más que veinte ejercicios de sustituir, porque te obliga a separar la cuenta del comportamiento.

17. Fuentes y continuidad

Este objeto se construyó sobre el programa analítico de Pensamiento Matemático III (SEP/DGB, semestre 3) en su alcance de pensamiento algebraico e introducción a la geometría plana, con referencia al MCCEMS. Las explicaciones, ejemplos, tablas, reactivos y guion son originales de Lumbre; la notación es la estándar del álgebra escolar. la notación de función y la gráfica en el plano cartesiano son dos caras del mismo objeto.