Sistemas de ecuaciones no lineales: dónde se tocan dos curvas

1. Arranque: dos condiciones, un punto

En primer semestre resolvías sistemas de dos rectas: una solución, ninguna si eran paralelas, o infinitas si eran la misma. Ahora una de las ecuaciones es curva. un sistema no lineal se resuelve preguntando dónde se encuentran dos gráficas, y eso ya es geometría. Ejemplo cotidiano: un dron sigue la trayectoria y = x + 1 y un cable colgante describe y = x^2 - 1. ¿Se tocan? ¿Dónde? Esas dos preguntas son exactamente un sistema no lineal.

2. Qué es un sistema no lineal

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de condiciones que deben cumplirse a la vez. Es no lineal cuando al menos una ecuación tiene términos de grado dos o superior, o variables multiplicándose entre sí. al sustituir casi siempre aparece una cuadrática, y ahí decide el discriminante por eso la herramienta que acabas de aprender en la Unidad 1 no es souvenir: es el motor de este objeto.

3. El método: sustituir y reducir

el método general es sustitución: se despeja una variable en la ecuación lineal y se mete en la no lineal. Suena simple y lo es, con dos condiciones: despeja en la lineal (nunca en la cuadrática, porque ahí sale un ± que complica) y sustituye con paréntesis completos.

Conjunto solución: {(2, 3), (-1, 0)}. toda solución es un punto: tiene que satisfacer las dos ecuaciones, no una. Prueba (2, 3): en la lineal 3 = 2 + 1 y en la parábola 3 = 4 - 1. Prueba (-1, 0): 0 = -1 + 1 y 0 = 1 - 1. Ambas cierran.

4. Cuántas soluciones hay antes de saber cuáles

Cuando reduces el sistema obtienes ax^2 + bx + c = 0. Su discriminante decide el cuento completo: un sistema de recta y circunferencia tiene cero, una o dos soluciones, según la distancia del centro a la recta. Si D es positivo, dos puntos de corte; si vale cero, cuando el discriminante de un sistema vale cero, las curvas se tocan: son tangentes; si es negativo, un sistema sin solución real no está mal planteado: describe dos gráficas que no se encuentran.

Ejemplo 2. Recta y circunferencia

Sistema: x^2 + y^2 = 25 con y = x + 1. Sustituyo: x^2 + (x + 1)^2 = 25, o sea 2x^2 + 2x - 24 = 0, que dividido entre 2 es x^2 + x - 12 = 0. Factoriza: (x + 4)(x - 3) = 0, entonces x = 3 con y = 4, y x = -4 con y = -3. Los dos puntos están sobre la circunferencia de radio 5: (3, 4) y (-4, -3) cumplen 9 + 16 = 25 y 16 + 9 = 25.

Ejemplo 3. Caso tangente

x^2 + y^2 = 25 con y = 5. Sustituyendo: x^2 + 25 = 25, así que x^2 = 0 y sólo x = 0, con punto (0, 5). Es el caso de discriminante cero: la recta toca la circunferencia en un punto. Esa recta es tangente y el radio hasta el punto de tangencia es perpendicular a ella.

Ejemplo 4. Sin solución real

x^2 + y^2 = 25 con y = x^2 + 6. Si la parábola abre arriba con vértice en (0, 6) y la circunferencia llega apenas a y = 5, no se encuentran. El álgebra lo confirma: sustituyendo x^2 = y - 6 en la circunferencia queda (y - 6) + y^2 = 25, o sea y^2 + y - 31 = 0, cuyas raíces son y ≈ 5.09 y y ≈ -6.09; la primera exigiría x^2 = -0.91 y la segunda x^2 = -12.09, y un cuadrado no puede ser negativo. cuando aparecen raíces, hay que verificar porque elevar puede introducir soluciones extrañas.

Ejemplo 5. Sistema simétrico con dos soluciones cruzadas

xy = 24 con x + y = 10. De la segunda, y = 10 - x, y al sustituir: x(10 - x) = 24, es decir x^2 - 10x + 24 = 0 con raíces 6 y 4. Las soluciones son (6, 4) y (4, 6). si el sistema es simétrico en x y y, las soluciones vienen intercambiadas: (2, 3) obliga a (3, 2) porque las dos ecuaciones no distinguen a x de y.

Ejemplo 6. Hasta cuatro soluciones

x^2 + y^2 = 13 con x^2 - y = 1. Restando las ecuaciones elimina x^2: y^2 + y - 12 = 0, con y = 3 o y = -4. Con y = 3, x^2 = 4 y x = ±2; con y = -4, x^2 = -3, que no da reales. Quedan (2, 3) y (-2, 3). en sistemas con dos ecuaciones no lineales pueden aparecer hasta cuatro soluciones en general; aquí la mitad se descartó por negativa.

6. Simulación con papel: dos curvas, un discriminante

Toma la familia y = x^2 con la recta y = 2x + k y pregunta qué pasa cuando cambias k. Como k sube, la recta se corre hacia arriba.

Anota la lectura: mientras k sea mayor que -1 hay dos cortes; en k = -1 exactamente uno; por debajo, ninguno. resolver por gráfica y resolver por álgebra dan el mismo punto; uno da intuición y el otro exactitud.

10. Práctica guiada

Sistema: y = x^2 - 3 con y = x - 1. Sigue los cinco movimientos de la sección 3 con la tabla como guía.

Conjunto solución {(2, 1), (-1, -2)}. Si en tu verificación la segunda coordenada no cuadra, casi siempre el error está en el paso 3, al mover el -3 de lado con el signo equivocado. el error más común es reportar una sola coordenada o mezclar las x con las y de la otra solución.

16. Fuentes y continuidad

Objeto construido sobre el programa analítico de Pensamiento Matemático III (SEP/DGB, semestre 3), alcance de pensamiento algebraico con introducción a la geometría analítica, y referencia al MCCEMS. Sistemas, tablas, reactivos y guion son originales de Lumbre; todos los puntos de solución fueron verificados por sustitución. en un problema de medidas, el sistema traduce dos condiciones simultáneas, como área y perímetro.