Resolver ecuaciones cuadráticas: cuatro rutas

1. Arranque: la ecuación que ya no se despeja como las otras

En segundo semestre resolvías 3x + 7 = 1 y te alcanzaba con mover términos. Ahora tienes x^2 - 6x + 5 = 0 y ese x^2 rompe la estrategia: no puedes "bajarlo" restando, porque está atado a una x. Lo que necesitas no es un truco, es un mapa de rutas. resolver una cuadrática tiene cuatro rutas y la diferencia entre ellas no es el resultado sino el costo.

2. Antes de resolver: poner en forma estándar

El primer paso no es álgebra, es orden. toda ecuación cuadrática se escribe ax^2 + bx + c = 0, con todo a un lado y cero al otro Si te dan 2x^2 = 5x - 3, pasas todo a la izquierda: 2x^2 - 5x + 3 = 0, y sólo entonces identificas a = 2, b = -5, c = 3. Con los términos desordenados, la fórmula devuelve basura con elegancia.

3. Ruta 1: factorizar por suma y producto

Cuando a = 1, la vía rápida es buscar dos números que sumen b y multipliquen c. factorizar funciona cuando encuentras dos números que suman b y multiplican c. Y su justificación es el producto notable al revés: x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4), porque -3 + -4 = -7 y (-3)(-4) = 12.

Aquí entra la propiedad que hace válida toda la ruta: si dos factores multiplicados dan cero, alguno de los dos tiene que ser cero. la búsqueda de dos números con suma y producto dados es el corazón de la factorización y por eso la ecuación factorizada se resuelve con dos líneas: x - 3 = 0 o x - 4 = 0, luego x = 3 o x = 4.

Ejemplo 2. 2x^2 + 5x - 3 = 0 (cuando a no es 1)

Aquí la búsqueda directa no funciona; uso el discriminante para saber si siquiera hay factorización bonita: b^2 - 4ac = 25 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49, y 49 es 7^2. si el discriminante es un cuadrado perfecto las soluciones son racionales y la factorización existe: x = (-5 ± 7) / 4, o sea x = 1/2 y x = -3. En factores: 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3).

4. Ruta 2: completar el cuadrado, la que nunca falla

El objeto anterior ya te dio el motivo: completar el cuadrado siempre funciona, aunque deje raíces con radical. El procedimiento con a = 1 es mecánico: pasas c al otro lado, sumas a ambos lados la mitad de b elevada al cuadrado, y el lado izquierdo se lee solo como un cuadrado perfecto.

Nota algo: el 3 que apareció es exactamente h del vértice del objeto anterior, y el ±sqrt(7) es la distancia del eje a las raíces. una ecuación y su gráfica son dos lenguajes del mismo hecho: resolver es traducir.

5. Ruta 3: la fórmula general

La fórmula no es un conjuro aparte: es el ejemplo 3 hecho con letras. la fórmula general es x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a, y sale de completar el cuadrado en general. Derivarla toma dos minutos y evita memorizar: de ax^2 + bx + c = 0 pasas c, divides todo entre a, sumas (b / 2a)^2 a ambos lados, factorizas y extraes raíz.

En el caso de x^4 - 5x^2 + 4 = 0 la sustitución u = x^2 da u^2 - 5u + 4 = 0 con u = 1 y u = 4; al regresar, x = ±1 y x = ±2. Verifica: 1 - 5 + 4 = 0 y 16 - 80 + 64 = 0. Ojo: aquí sí aparece una trampa, porque u = -1 habría dado x = ±sqrt(-1), que no sirve en los reales.

7. El discriminante: pensar antes de calcular

Si sólo miras b^2 - 4ac ya sabes el final de la historia. el discriminante b^2 - 4ac se calcula primero porque dice cuántas soluciones hay antes de buscarlas. Las tres lecturas: positivo, dos soluciones distintas; cero, cuando el discriminante vale cero hay una sola solución real, llamada raíz doble; negativo, cuando el discriminante es negativo no hay solución real: la parábola nunca toca el eje x.

8. Vieta: resolver sin resolver

Hay una información gratis cuando sólo quieres comprobaciones rápidas: la suma de las raíces es -b / a y su producto es c / a. Para x^2 - 7x + 12 = 0: suma 7, producto 12, y en efecto 3 + 4 = 7 y 3 × 4 = 12. Sirve para verificar en cinco segundos y para construir una ecuación a partir de sus raíces: si quiero raíces 2 y -5, la ecuación es x^2 - (suma)x + producto = x^2 + 3x - 10 = 0.

9. Verificación y soluciones extrañas

Resolver no termina al despejar. toda solución se verifica sustituyendo en la ecuación original, no en la que tú reescribiste. Si sustituyes en una versión manipulada y te sale bien, sólo probaste que tu manipulación fue coherente, no que la respuesta sea correcta.

Y cuando en el camino multiplicaste por una expresión con x, o elevaste al cuadrado ambos lados, aparece otro riesgo: al elevar o multiplicar por una expresión con x pueden aparecer soluciones que no valen. Ejemplo: x = sqrt(2x + 3). Al elevar, x^2 = 2x + 3 da x = 3 y x = -1; pero -1 no sirve, porque sqrt(1) = 1 ≠ -1. La solución válida es x = 3 únicamente.

14. Práctica guiada

Trabaja en este orden y anota en qué ruta estás en cada paso.

Resultado: D = 64 - 28 = 36 = 6^2, así que factoriza: (x - 1)(x - 7) = 0 y el conjunto solución es {1, 7}. Suma 8, producto 7: cuadra. toda solución se verifica sustituyendo en la ecuación original, no en la que tú reescribiste aquí significó dos sustituciones con cuentas chicas, no un vistazo.

En el bloque E: -4.9t^2 + 9.8t + 5 = 0 equivale a 4.9t^2 - 9.8t - 5 = 0, con D = 96.04 + 98 = 194.04 y sqrt(D) ≈ 13.93; entonces t ≈ 2.42 s y t ≈ -0.42 s. El tiempo negativo corresponde al instante en que la trayectoria teórica cruzaba el suelo antes del lanzamiento, así que se descarta.

20. Fuentes y continuidad

Objeto construido sobre el programa analítico de Pensamiento Matemático III (SEP/DGB, semestre 3) en su alcance de pensamiento algebraico, con referencia al MCCEMS. Las explicaciones, tablas, ejemplos, reactivos y guion son originales de Lumbre; la notación es la estándar del álgebra escolar. una ecuación y su gráfica son dos lenguajes del mismo hecho: resolver es traducir.