Algebra lineal avanzada II: descomposiciones
Las descomposiciones matriciales factorizan una matriz en productos de matrices con propiedades especiales. Son herramientas fundamentales en computacion cientifica, compresion de datos y machine learning.
Descomposicion SVD
La descomposicion en valores singulares (SVD) factoriza cualquier matriz A = U Sigma V^T, donde U y V son ortogonales y Sigma es diagonal. Es la descomposicion mas importante en algebra lineal numerica.
| Descomposicion | Forma | Aplicacion |
|---|---|---|
| SVD | A = U Sigma V^T | Compresion, PCA |
| Espectral | A = P D P^-1 | Sistemas dinamicos |
| QR | A = Q * R | Resolver sistemas |
| Cholesky | A = L * L^T | Optimizacion |
Valores singulares
Los valores singulares de A son las raices cuadradas de los valores propios de A^T * A. Miden la importancia de cada direccion en los datos.Compresion
Truncando el SVD a los k valores singulares mas grandes, obtenemos la mejor aproximacion de rango k. Esto comprime imagenes y datos.PCA
El Analisis de Componentes Principales usa SVD para encontrar las direcciones de maxima varianza en datos de alta dimension.
Paso 1 de 3
El SVD se usa en recomendaciones de Netflix, compresion JPEG, analisis de datos genomicos, y hasta en el algoritmo PageRank de Google.
Piensa y responde
¿Que hace la descomposicion SVD con una matriz?
El SVD se puede aplicar a cualquier matriz, no solo cuadradas.
En SVD, A = U V^T, y los valores miden la importancia de cada direccion.
Relaciona cada descomposicion con su uso:
Clasifica estas aplicaciones segon la descomposicion que usan:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para comprimir una imagen con SVD:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
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Para dominar este tema
- Comprende la descomposicion SVD
- Identifica valores singulares
- Aplica en compresion de datos
- Conoce PCA y sus aplicaciones
Descomposiciones matriciales
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