Calculo diferencial I: limites y derivadas
El calculo diferencial es la rama de las matematicas que estudia el cambio. Fue desarrollado por Newton y Leibniz en el siglo XVII. Su concepto fundamental es la derivada, que mide la razon de cambio instantanea. Pero antes, necesitamos entender los limites.
Limites
Un limite es el valor al que se acerca una funcion cuando la variable se acerca a un valor. Se escribe lim(x→a) f(x) = L. Significa: cuando x se acerca a a, f(x) se acerca a L.
- Limite: valor al que se acerca f(x) cuando x→a.
- Limite lateral izquierdo: cuando x→a por valores menores.
- Limite lateral derecho: cuando x→a por valores mayores.
- El limite existe si ambos limites laterales son iguales.
- Propiedades: suma, producto, cociente de limites.
- Limites notables: lim(x→0) sen(x)/x = 1.
- Formas indeterminadas: 0/0, ∞/∞, 0·∞.
| Concepto | Definicion | Ejemplo |
|---|---|---|
| Limite | Valor al que se acerca f(x) | lim(x→2) x² = 4 |
| Continuidad | f(a) = lim(x→a) f(x) | f(x)=x² es continua |
| Derivada | Razon de cambio instantanea | f'(x) = 2x |
| Recta tangente | Pendiente en un punto | y = f'(a)(x-a) + f(a) |
| Maximo/minimo | Donde f'(x) = 0 | f(x)=x² tiene minimo en x=0 |
La derivada
Definicion
La derivada de f en a es f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h. Mide la razon de cambio instantanea. Geometricamente, es la pendiente de la recta tangente.Reglas de derivacion
Derivada de x^n = nx^(n-1). Derivada de sen(x) = cos(x). Derivada de e^x = e^x. Regla de la cadena: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x).Aplicaciones
La derivada tiene multiples aplicaciones: optimizacion (maximos/minimos), velocidad instantanea, razon de cambio, recta tangente, analisis de funciones.
Paso 1 de 3
El calculo diferencial es fundamental en fisica, ingenieria, economia y todas las ciencias. Permite modelar el cambio y predecir comportamientos. Su invencion cambio la historia de la ciencia.
Piensa y responde
¿Que es la derivada de f(x) en a?
La derivada de x² es 2x.
El limite es el valor al que se acerca cuando x→a, y la derivada mide la de cambio instantanea.
Relaciona cada concepto con su definicion:
Clasifica estas funciones:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena el proceso para calcular la derivada:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que crees que el calculo diferencial es tan importante en la ciencia? ¿Puedes pensar en ejemplos de la vida diaria donde se use la derivada (velocidad, aceleracion, optimizacion)?
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Para dominar este tema
- El limite es el valor al que se acerca f(x).
- La derivada es la pendiente de la recta tangente.
- La derivada mide la razon de cambio instantanea.
- Reglas: x^n, sen(x), e^x, regla de la cadena.
- Aplicaciones: optimizacion, velocidad, analisis.
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