La parábola no es una curva decorativa: es un problema de optimización
La forma y sus piezas
Una función cuadrática se escribe f(x) = ax² + bx + c. El coeficiente a decide la boca de la parábola: si a es positivo abre hacia arriba (tiene un mínimo); si a es negativo abre hacia abajo (tiene un máximo). Esto ya te dice si el problema busca maximizar o minimizar antes de calcular nada.
| Elemento | Fórmula | Qué significa en el problema |
|---|---|---|
| vértice (x) | x = -b / (2a) | la entrada que da el extremo (mejor precio, dimensión óptima) |
| vértice (y) | f del valor anterior | el valor extremo (área máxima, ganancia máxima) |
| raíces | donde f(x) = 0 | los puntos de corte (cuándo se rompe o cuándo vale cero) |
Ejemplo resuelto 1: el área máxima
Ejemplo resuelto 2: la ganancia máxima
Cuando el vértice NO es la respuesta
El vértice da el óptimo teórica, pero el contexto puede imponer restricciones: si x debe ser entero (no vendes 30,5 unidades) o si el dominio real es un intervalo, el máximo puede estar en un extremo, no en el vértice. Siempre compara el vértice con los límites del dominio. Modelar es respetar las condiciones del problema, no solo la fórmula.
En f(x) = ax² + bx + c, ¿cómo sabes de inmediato que el problema tiene un MÁXIMO?
El precio óptimo: la ganancia es G(p) = -5p² + 100p - 80. ¿En qué precio p se maximiza y cuánto vale?
x = -b/(2a) = -100/(-10) = 10; evalúa G(10)
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Con el modelo G(p) = -5p² + 100p - 80, ¿cuál es la ganancia máxima (en p = 10)?
Si a es negativo la parábola abre hacia y su vértice es un ; si x debe ser entero, el máximo puede caer en un .
¿Optimizas con una cuadrática?
Aquí se mira lo que ya fuiste acertando. Pulsa «Comprobar» para saber si puedes seguir.
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