Series y sucesiones II: series de Taylor
Las series de Taylor permiten aproximar cualquier funcion derivable como un polinomio infinito. Son fundamentales en calculo, fisica, ingenieria y computacion cientifica.
Series de Taylor y Maclaurin
La serie de Taylor de f(x) centrada en a es la suma de las derivadas de f evaluadas en a, multiplicadas por potencias de (x-a). La serie de Maclaurin es el caso especial con a = 0.
- Serie de Taylor: f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ.
- Serie de Maclaurin: Taylor centrada en a = 0.
- Polinomio de Taylor de grado n: aproximacion con n terminos.
- Radio de convergencia: valores de x para los que la serie converge.
- Criterio del cociente: lim |aₙ₊₁/aₙ| para determinar convergencia.
- Series notables: e^x, sen(x), cos(x), ln(1+x), 1/(1-x).
- Error de truncamiento: diferencia entre la funcion y su aproximacion.
| Funcion | Serie de Maclaurin | Convergencia |
|---|---|---|
| e^x | Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + ... | Todo x |
| sen(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)! = x - x³/3! + ... | Todo x |
| cos(x) | Σ (-1)ⁿx^(2n)/(2n)! = 1 - x²/2! + ... | Todo x |
| ln(1+x) | Σ (-1)^(n+1)xⁿ/n = x - x²/2 + x³/3 - ... | -1 ≤ x ≤ 1 |
| 1/(1-x) | Σ xⁿ = 1 + x + x² + x³ + ... | |x| ≤ 1 |
| (1+x)^k | Σ C(k,n)xⁿ = 1 + kx + k(k-1)x²/2! + ... | |x| ≤ 1 |
Paso 1: Calcular derivadas
Encuentra f'(x), f''(x), f'''(x), ... y evalua cada una en el punto a.Paso 2: Construir coeficientes
Divide cada derivada entre el factorial correspondiente: f⁽ⁿ⁾(a)/n!.Paso 3: Escribir la serie
Suma los terminos: Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ. Los primeros terminos dan la aproximacion.Paso 4: Determinar convergencia
Usa el criterio del cociente para encontrar el radio de convergencia.
Paso 1 de 4
Las series de Taylor se usan en calculadoras para computar sen(x), e^x y otras funciones. Tambien en fisica para aproximar ecuaciones no lineales, en estadistica para la funcion de densidad normal, y en machine learning para optimizacion.
Piensa y responde
¿Cual es el tercer termino no nulo de la serie de Maclaurin de sen(x)?
La serie de Maclaurin de e^x converge para todo valor de x.
La serie de Taylor centrada en a=0 se llama serie de . El radio de convergencia indica los valores de x para los que la serie .
Relaciona cada serie con su funcion:
Clasifica estas series segun su radio de convergencia:
Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.
Ordena los pasos para encontrar la serie de Maclaurin de e^x:
Coloca los elementos en orden y pulsa Comprobar.
¿Por que las calculadoras usan series de Taylor para computar funciones trigonometricas?
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Para dominar este tema
- Construye series de Taylor para funciones basicas.
- Determina el radio de convergencia.
- Aproxima valores usando polinomios de Taylor.
- Reconoce series notables (e^x, sen, cos, ln).
- Aplica series en problemas de fisica e ingenieria.
Series de Taylor
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