Ecuaciones diferenciales I

✦ Estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: definicion, clasificacion, separacion de variables, ecuaciones exactas y aplicaciones en tercero de preparatoria

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Firmado y verificado · Fernando Castro

Objetivo: Comprender el concepto de ecuaciones diferenciales y metodos de solucion basicos.

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Firmado y verificado Fernando Castro

Lo que aprendesComprender el concepto de ecuaciones diferenciales y metodos de solucion basicos.

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Temas #ecuacion diferencial #orden #separacion de variables #exacta #lineal #condicion inicial #solucion general #solucion particular

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Ecuaciones diferenciales: el lenguaje del cambio

Una ecuacion diferencial es una ecuacion que involucra una funcion desconocida y sus derivadas. Por ejemplo: dy/dx = 2x. La solucion no es un numero: es una funcion y(x) que satisface la ecuacion. En este caso, y(x) = x^2 + C es la solucion general (familia de funciones). Si damos una condicion inicial (y(0) = 1), obtenemos una solucion particular (y = x^2 + 1).

El metodo de separacion de variables es el mas basico: si dy/dx = f(x)g(y), separamos: dy/g(y) = f(x)dx, e integramos ambos lados. Las ecuaciones diferenciales modelan fenomenos reales: crecimiento poblacional (dy/dt = ky), enfriamiento de Newton (dT/dt = -k(T-Ta)), desintegracion radiactiva (dN/dt = -kN), circuitos electricos (LdI/dt + RI = V). El orden de una ecuacion diferencial es el orden de la derivada mas alta: dy/dx es primer orden, d^2y/dx^2 es segundo orden.

Concepto	Definicion	Ejemplo
Ecuacion diferencial	Ecuacion con funcion desconocida y sus derivadas	dy/dx = 2x
Solucion general	Familia de funciones con constante C	y = x^2 + C
Solucion particular	Funcion especifica con condicion inicial	y(0)=1 -> y = x^2 + 1
Separacion de variables	dy/g(y) = f(x)dx, integrar ambos lados	dy/dx = xy -> dy/y = xdx

La solucion general de dy/dx = 3x^2 es:

Relaciona cada concepto con su definicion:

Arrastra cada ficha a su categoría (o tócala y luego toca la categoría). También puedes usar el teclado.

Una diferencial es una ecuacion con funcion desconocida y sus . La general es una familia de funciones con constante : y = x^2 + C. La solucion usa una condicion inicial: y(0)=1 -> y = x^2 + 1. El metodo de de variables: dy/g(y) = f(x)dx, integrar ambos lados.

Piensa en las ecuaciones diferenciales como el lenguaje del cambio: describen como crecen las poblaciones, como se enfrian los objetos, como decae la radiactividad, como oscilan los resortes. Cada fenomeno tiene su ecuacion diferencial. Resolverla es predecir el futuro: saber como evolucionara el sistema. Eso es el poder de las ecuaciones diferenciales: modelar el cambio.

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Practica un pocoResuelve ecuaciones diferenciales

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por separacion de variables: dy/dx = 2x (integral de dy = integral de 2x dx -> y = x^2 + C), dy/dx = xy (dy/y = xdx -> ln|y| = x^2/2 + C -> y = Ce^(x^2/2)), dy/dx = y (dy/y = dx -> ln|y| = x + C -> y = Ce^x). Escribe los pasos detallados.

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Repasa esto primeroComprende las condiciones iniciales

La solucion general tiene constante C. La condicion inicial determina C: si y(0)=1 y y = x^2 + C, entonces 1 = 0 + C, asi que C=1 y y = x^2 + 1. Practica con 3 ecuaciones: dy/dx = 3x^2 con y(1)=2, dy/dx = 2x con y(0)=3, dy/dx = e^x con y(0)=0. Escribe un reporte de 300 palabras.

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